Können Sie diese Ungleichung nachweisen?

Question

Aufgabe:

Können Sie diese Ungleichung für a > 0 und x >= 1/(2a) nachweisen?

2a²x²/|1-2a²x²| >= 1

Ich habe eine Fallunterscheidung gemacht aber es nicht hinbekommen.

Answer 1

Setze \(z=2a^2x^2>0\). Wegen der Bedingung an \(x\) ist \(z\geq \frac{1}{2}\).

1. Fall: \(1-z\geq 0\)

Dann ist \(\frac{z}{1-z}\geq 1\) äquivalent zu \(\frac{1-z}{z}\leq 1\) (Kehrwertbildung)

Das ist aber klar, denn \(\frac{1-z}{z}=\frac{1}{z}-1\leq 2-1= 1\), da der Bruch für \(z=\frac{1}{2}\) maximal wird.

Den 2. Fall überlasse ich dir.

Comments

Warst schneller. :-D

Answer 2

Offensichtlich hast du eine Ungleichung, die in Wirklichkeit so aussieht:

\(\frac p{|1-p|}\geq 1\) mit \(p = 2a^2x^2 \geq \frac 12\)

Nun gilt wegen \(p>0\) für \(p \neq 1\)

\(\frac p{|1-p|}\geq 1 \stackrel{p>0, p\neq 1}{\Leftrightarrow} p^2 \geq (1-p)^2\)

Du darfst jetzt gern selbst nachrechnen, dass die letzte Ungleichung äquivalent ist mit \(p\geq \frac 12\).

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Vielen Dank auch Ihnen.