Blutgruppen und Stichprobe

Question

Aufgabe:

Das untenstehende Kreisdiagramm zeigt die Häufigkeitsverteilung der Blutgruppen in Deutschland. Es werden zufällig 30 Personen, die in Deutschland wohnen, ausgewählt.

(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 15 der Personen Blutgruppe A haben.

(b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens fünf der Personen Blutgruppe B oder AB haben.

(c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe 0 um höchstens Sigma vom Erwartungswert abweicht.

(d) Wie viele Personen müsste man zufällig auswählen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens drei Personen mit der Blutgruppe AB zu bekommen?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand ein erklären, wie man diese Aufgaben rechnet?

Answer 1

Verwende die Formel für die Binomialverteilung, mit n = 30.

Comments

a)

\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=16}^{30} \; \binom{30}{k} \cdot 0,43^k \cdot (1-0,43)^{30-k} \)

b)

\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=0}^{5} \; \binom{30}{k} \cdot 0,16^k \cdot (1-0,16)^{30-k} \)

c)

Geht nicht, weil zwischen "höchstens" und "vom" etwas fehlt.

Der Erwartungswert ist jedenfalls 41 % von 30.

d)

\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=3}^{n} \; \binom{n}{k} \cdot 0,05^k \cdot (1-0,05)^{n-k} \)

n auswählen so, dass p ≥ 90 %

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Müsste Sigma sein.

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Müsste Sigma sein.

Ich nehme an, das bezieht sich auf Deine nachträgliche Korrektur von Aufgabe c).

Du wirst finden, dass bei einer Binomialverteilung die Varianz = n p (1-p) ist und die Standardabweichung hier deshalb

\(\sigma= \sqrt{30 \cdot 0,41 \cdot (1-0,41)} \approx 2,69 \)

d.h. eine Abweichung vom Erwartungswert 12,3 (41 % von 30) um 2,7 wäre schon zuviel. Es geht also um k = 10..14 (sowie n = 30 und p = 41 %).

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Ich verstehe den letzten Satz deiner Erklärung doch nicht so ganz.. Wenn ich also die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung bestimmen möchte muss ich den passenden Wert für k finden?...

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Naaah, sondern dann sollst Du rechnen

\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=10}^{14} \; \binom{30}{k} \cdot 0,41^k \cdot (1-0,41)^{30-k} \)

Es geht nicht um die "Wahrscheinlichkeit für die Abweichung" sondern um das was in der Aufgabe steht.

Du könntest noch bei Deiner Frage von gestern mit der Lotterie auf die Rückfrage reagieren.

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n auswählen so, dass p ≥ 90 %

Vlt. solltest du dem TS sagen, wie er das machen soll.

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Vlt. solltest du dem TS sagen, wie er das machen soll.

Fragesteller wird sicher in der Lage sein, bei d) nachzufragen, wenn er das möchte.

Man nimmt n = 104 und erhält p ≈ 89,7 %

Man nimmt n = 105 und erhält p ≈ 90,1 % d.h. "mindestens 90 %" erreicht.

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Wie kommt man/frau auf 104?

Algebraisch geht hier nix.

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Man fängt bei n = 1 an und arbeitet sich langsam, oder rascher, hoch.

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Ja, wenn man verrückt ist oder extreme Langeweile hat und keine Angst hat, dabei wahnsinnig zu werden,

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Ich habe im TS binominalcdf benutzt und für p=0,05 und für x=3 eingegeben und z.B. mit n=104 ausprobiert. Aber bei mir kommen andere Werte raus.. habe ich etwas falsch eingegeben?

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@ggT22: Ich behaupte nicht, dass etwas davon beim Fragesteller der Fall ist, und finde es gut, dass Du Dich schon im Internet einbringen möchtest. Und dabei werde ich es nun belassen.

@heilloa: Du sollst die Summe für k = 3 bis 104 rechnen nicht für k = 0 bis 3. Also etwas in der Art binominalcdf 104 minus binominalcdf 2. Wenn andere Werte angezeigt werden, ja dann hast Du ziemlich sicher etwas falsch eingegeben. Oder ich. Oder wir beide. Aber eher Du.

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Wie du siehst, hat er sofort zur Technik gegriffen.

Answer 2

Binomialverteilung.

a) P(X>15) = 1-P(X<=14) = 1-P(X=0)-P(X=1)-....-P(X=14)

n= 30, p= 0,43

Benutze die summierte WKT auf deinem TR

b) P(X<=5)

n= 30, p= 0,48

c) EW = 30*0,41 = 12,3

Da fehlt etwas. Um wieviel abweicht?

d) P(X>=3) = 1-P(X<=2) >=0,9

1 - 0,95^n -n*0,05*0,95^(n-1) - (nüber2)*0,05^2*0,95^(n-2) >=0,9

n= 105

mit techn. Hilfe, die Gleichung ist analytisch nicht lösbar, Näherungsverfahren anwenden

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Comments

bei c) um "sigma" abweicht

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sigma = Standardabweichung = Wurzel aus Varianz

https://www.schuelerhilfe.de/online-lernen/1-mathematik/747-standardabweichung-und-varianz#5afe3c48-1315-489c-88fd-4c56a301b9bc