Sei f : [a, b] → R differenzierbar und streng monoton.

Question

Aufgabe:

…

Sei f : [a, b] → R differenzierbar und streng monoton. Sei weiter F eine Stammfunktion von f.
Geben Sie eine Stammfunktion F˜ von f^−1 an.
Problem/Ansatz:

Comments

Die Skizze

möge dir dabei helfen zu verstehen, warum
\( \int\limits_{a}^{b}f^{-1}(x)dx = b·f^{-1}(b) - a·f^{-1}(a) - \int\limits_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}f(x)dx\) ist
und was sich daraus im Bezug auf die gesuchte Formel ergibt.

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Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Integral_von_Umkehrfunktionen.

Answer 1

Da du keine Eigeninitiative zeigst, hier nur ein paar Hinweise:

\(f^{-1}:\,[c,d]\longrightarrow [a,b]\)

\(G(y) = \int_c^yf^{-1}(u)\, du\) ist eine Stammfunktion von \(f^{-1}(y)\).

Nun benutze die Substitutionsregel mit \(u = f(t)\) und integriere partiell.

Werfe dann die konstanten Terme weg (da nur eine Stammfunktion angegeben werden soll).

Fertig.