Zeigen Sie: Konv(N, R) = L(1) + W.

Question

Aufgabe:

a) Wir wissen von Blatt 12, dass W := Konv0(N, R) ein Untervektorraum von V := Konv(N, R)
ist. Sei 1 = (1, 1, 1, . . .) ∈ V die konstante Folge mit Wert 1. Zeigen Sie:
Konv(N, R) = L(1) + W.
Für welche anderen Folgen c ∈ Konv(N, R) gilt ebenfalls Konv(N, R) = L(c) + W ?
b) Sei V ein K-Vektorraum und U, U′ ⊂ V UVR. Zeigen Sie: L(U ∪ U′) = U + U′.

Hinweis: In b) können Sie verwenden, dass die lineare Hülle einer Menge X der kleinste Untervektorraum ist, der die Menge X enthält.

Answer 1

Zeigen Sie:   Konv(N, R) = L(1) + W.

Ich denke mal  Konv(N, R) ist der Raum der konvergenten Folgen und

W ist der Raum der 0-Folgen.

L(1) ist die lineare Hülle der konstanten Folge vom Wert 1, also sozusagen die

Menge aller konstanten Folgen.

Da musst du ja nur zeigen: Jede konvergente Folge (a_n)_n∈ℕ ist die Summe einer

konstanten Folge und einer Nullfolge. Dem ist so; denn Wenn (a_n)_n∈ℕ den

Grenzwert a hat, dann gilt :   (a_n - a )_n∈ℕ ist eine Nullfolge und deren Summe

mit der konstanten Folge vom Wert a gibt genau die Folge (a_n)_n∈ℕ .

Umgekehrt ist natürlich auch jede Folge, die die Summe aus einer konstanten

Folge und einer Nullfolge ist, eine konvergente Folge.

Also gilt Konv(N, R) = L(1) + W.