Hallo,
Habe ich das so richtig gemacht?
Aufgabe: (Kurz vorab: |K steht für Körper und K ist eine Menge, die Ausdrücke sup(…) und inf(…) stehen für Supremum und Infimum)
Ich sollte beweisen: Sei f: K→|K eine stetige Funktion, mit K ⊂ |K und
f(K)= Bild(f) ⊂ |K. Dann gilt die Implikation:
K kompakt ⇒ f(K) kompakt
Mein Beweis: Zu zeigen ist also die obige Implikation.
K kompakt ⇔ K abgeschlossen und beschränkt (Definition)
K abgeschlossen ⇔ Für jeden Häufungspunkt x gilt: x ist in K (Definition)
K beschränkt ⇔ Es gibt Sup(K) und inf(K)
Da K also abgeschlossen und beschränkt ist ⇒ Sup(K), inf(K) ist in K.
Sei (x_n) aus K eine Folge mit x_n ≠ Sup(K) für alle n aus N (natürliche Zahlen) und lim(x_n)= Sup(K). Auch (y_n) aus K, sei eine Folge mit
y_n ≠ inf(K) für alle n aus N und lim(y_n)= inf(K).
Da f stetig ist nach Voraussetzung, gilt: lim(f(x_n))= f(Sup(K)) und auch lim(f(y_n))= f(inf(K)), für alle Folgen (f(x_n)) und (f(y_n)) aus f(K). Damit ist f(K) durch f(inf(K)) und f(Sup(K)) beschränkt.
Da f stetig ist, also Sup(K) und inf(K) aus K, ist auch f(Sup(K)) und f(inf(K)) aus f(K). Damit ist f(K) abgeschlossen und beschränkt. Nach Definition also kompakt und das war ja zu zeigen.
