Orthogonalisieren Sie x1, x2 und x3 nach Schmidt bezüglich des Skalarproduktes

Question

Aufgabe:

Orthogonalisieren Sie x1, x2 und x3 nach Schmidt bezüglich des Skalarproduktes, welches durch die Matrix der Teilaufgabe c) gegeben ist (⟨x, y⟩_A := x^⊤Ay mit gegebener spd-Matrix)

Problem/Ansatz:

ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier vorgehen soll. Muss ich dann ganz normal das Gramm Schmidt verfahren anwenden, aber bloß statt mit ⟨x₂·u₁⟩ usw mit ⟨x, y⟩_A := x^⊤Ay und meine Vektoren nomiere ich dann mit \( \frac{x₁}{\sqrt{⟨x₁· x₁⟩ } } \)

oder kann ich meine Vektoren ganz normal auf die Länge 1 nomieren?

Answer 1

Du rechnest ganz normal, aber mit dem Skalarprodukt \((x,y)_A\). Zu diesem SP gehört dann auch eine Norm, die ist \(\|x\|_A:= \sqrt{(x,x)_A}=\sqrt{x^TAx}\). Mit diesen Änderungen läuft Gram-Schmidt wie üblich durch, nur eben anderes SP, andere Norm.

Comments

ok vielen dank