Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) mit charakteristischem Polynom \( \chi_{A}(\lambda)=-(3+\lambda)(3-\lambda)^{2} \).
Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \).
\( \lambda_{1}=3, \quad \lambda_{2}=-3 \)
Geben Sie die Eigenräume von \( A \) zu jedem Eigenwert an.
\( V(3)=\mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right), \quad V(-3)=\mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)
Berechnen Sie eine orthogonale Transformationsmatrix \( F \) so, dass \( F^{-1} A F \) eine Diagonalmatrix ist.
\( F=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right) \)
Problem/Ansatz:
Hallo, ich verstehe nicht wie man auf das Ergebnis kommt. Könnte mir da bitte jemand das Vorgehen erklären?
LG
