Wieviele Lösungen hat diese Matrix mit Parameter?

Question

Aufgabe:

Moin, es geht um die Bestimmung von Lösungen einer Matrix mit Parameter:

Gegeben sind die Gleichungen
1. x1+x2+a*x3=2
2. 2x1+a*x2-x3=1
3. 3x1+4x2+2x3=a

Wieviele Lösungen gibt es? Eine, Keine oder mehrere?
Und welchen Wert hat a?

Problem/Ansatz:
Ich würde es ein eine Matrix umschreiben und dann es mit Gauß versuchen. Da a in der Position 2x2 mitten in der Treppe stünde würde ich es gerne da herausholen. Wäre es sinnvoll die 2.(x2) und 3. Spalte (x3) zu vertauschen? Dann hätte ich 2 a über der Treppe.
Wie würde gauß dann runtergerechnet werden?

Answer 1

Den Spaltentausch würd ich lassen, ansonsten müsstest Du im x-Vektor Zeilen tauschen. Evtl Zeilentausch oder einfach runter rechnen..

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&a&-2\\0&a - 2&-2 \; a - 1&3\\0&1&-3 \; a + 2&-a + 6\\\end{array}\right)\)

II = II-(a-2)III

dann geht die Rücksubstitution halt von der 2. Zeile aus

Comments

Deine Matrix hilft mir grade nicht weiter. Ich müsste das a-2 und -3a+2 ja versuchen zu lösen um auf Gauß bevorzugte Nuller-Treppe zu komme.

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Schrittweise:

II=II+2 III

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&a&-2\\0&a&-8 \; a + 3&-2 \; a + 15\\0&1&-3 \; a + 2&-a + 6\\\end{array}\right)\)

II - a III

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&a&-2\\0&0&\left(a - 3 \right) \; \left(3 \; a - 1 \right)&\left(a - 5 \right) \; \left(a - 3 \right)\\0&1&-3 \; a + 2&-a + 6\\\end{array}\right)\)

II /(a-1)/(3a-1)

==> x3

nach unten einsetzen ==> x2

nach oben einsetzen ==> x1

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Und wie geht es dann mit a weiter? Was habe ich für x1 , x2 und x3 bisher und wie sieht die letzte Matrix aus?

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\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&a&-2\\0&0&1&\frac{a - 5}{3 \; a - 1}\\0&1&-3 \; a + 2&-a + 6\\\end{array}\right)\)

I=I-a II, III=III+(3a-2) II

III_{kannst Du aufteilen in 2 Schritte wenn es dir leichter fällt}

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&\frac{-a^{2} - a + 2}{3 \; a - 1}\\0&0&1&\frac{a - 5}{3 \; a - 1}\\0&1&0&\frac{2 \; a + 4}{3 \; a - 1}\\\end{array}\right)\)

den letzten Schritt überlasse ich Dir...