Relationen, Mengen gegeben

Question

Auf der Menge M = {a, b, c} seien die Relationen R1 = {(a, a),(b, b),(c, c),(c, a)},
R2 = {(a, a)}, R3 = {(a, a),(a, b),(a, c),(b, a)}, R4 = {(a, a),(b, b),(c, c),(c, a),(a, c)}.
Geben Sie jeweils mit kurzer Begrundung an, ob diese Relationen reflexiv, symme- ¨
trisch, antisymmetrisch, transitiv sind. Welche ist eine Ordnungsrelation? Fur die ¨
Aquivalenzrelation unter diesen geben Sie die ¨ Aquivalenzklassen und die Faktor- ¨
menge M/R.

Answer 1

Auf der Menge M = {a, b, c} Relation R1 = {(a, a),(b, b),(c, c),(c, a)},

Für alle x∈M gilt (x,x)∈R1, also reflexiv

(c,a)∈R1 aber (a,c)∉R1 also nicht symmetrisch und damit auch

keine Äquivalenzrelation.

Für alle x,y ∈ M gilt (x,y)∈R1 und (y,x)∈R1 nur, wenn x=y, also antisymmetrisch

(x,y)∈R1 und (y,z)∈R1 gilt hier nur

mit (c,c)∈R1 und (c,a)∈R1  dann aber auch (c,a)∈R1

oder mit (c,a)∈R1und (a,a)∈R1   dann aber auch (c,a)∈R1

also transitiv.

Was muss denn bei euch für eine Ordnungsrel. gelten ?

Nur transitiv ???, dann ist es eine.

Comments

wieso ist R1 transitiv das verstehe ich nicht ganz

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ich hab raus:

R1: reflexiv, antisymmetrisch

R2: symmetrisch, antisymmetrisch

R3: transitiv

R4: reflexiv, symmetrisch

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Eine Rel. R über einer Menge M ist transitiv,

wenn für alle x,y,z ∈ M gilt

(x,y)∈R und (y,z)∈R ==> (x,z)∈R.

Jetzt suche mal bei deiner Rel. solche x,y,z.

Ich sehe da nur die angegebenen 2 Möglichkeiten,

und bei denen stimmt die Folgerung (x,z)∈R.

R2 ist auch transitiv.

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wie kann denn r2 transitiv sein

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Gleiches Argument wie bei R1:

(x,y)∈R und (y,z)∈R ==> (x,z)∈R.

ist nur möglich in der Form

(a,a)∈R und (a,a)∈R ==> (a,a)∈R.

und das ist wahr.

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habs jz kapiert

vielen dank