Zwei Geraden, Äquivalenz

Question

Aufgabe:

(a) Es seien \( L=\{\vec{v}+t \vec{w}: t \in \mathbb{R}\} \) und \( L^{\prime}=\left\{\vec{v}^{\prime}+s \vec{w}^{\prime}: s \in \mathbb{R}\right\} \) zwei Geraden (mit \( \vec{w} \neq 0, \vec{w}^{\prime} \neq 0 \) ) in der Ebene \( \mathbb{R}^{2} \) und es gelte \( L \neq L^{\prime} \). Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(i) Die Geraden \( L \) und \( L^{\prime} \) sind parallel (d.h. es gilt \( L \cap L^{\prime}=\emptyset \) ).
(ii) Es gibt ein \( c \in \mathbf{R} \) mit \( \vec{w}=c \vec{w}^{\prime} \). (In diesem Fall heißen \( \vec{w} \) und \( \vec{w}^{\prime} \) kollinear.)

Problem/Ansatz:

Hätte jemand eine Idee, wie ich hier beginnen kann? Da die Geraden parallel sind, ist der Lösungsraum leer, und die Geraden haben keine gemeinsamen Punkte. Das ist mir klar. Könnte ich vielleicht annehmen, dass die Geraden identisch sind und dann Widerspruch verwenden? Ich habe es zwar versucht, aber irgend etwas scheint nicht zu klappen. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Ich lasse im Folgenden die Vektorpfeile weg.

i) => ii): Da der Schnitt leer ist, gilt \(v\neq v'\) (ansonsten wäre \(v=v'\) im Schnitt) und die Gleichung \(v+tw=v'+sw'\)  hat keine Lösung. Daraus folgt \(v-v'=sw'-tw\). Wir wählen \(s\) und \(t\) jetzt so, dass die rechte Seite 0 ergibt, weil die linke Seite sowieso ungleich 0 ist. Damit hätten wir die Nicht-Lösbarkeit der Gleichung. Aus \(sw'-tw=0\) folgt dann aber \(sw'=tw\). Wie man jetzt das \(c\) wählen kann, ist hoffentlich offensichtlich.

Schaffst du die andere Richtung?