Auf welchen Bereich ist f^-1 definiert?

Question

Sei f:R^2→R^2

Text erkannt:

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left[\begin{array}{c}3 x_{1}+2 x_{2} e^{x_{1}} \\ \log \left(1+x_{1}^{2}\right)+x_{2}\end{array}\right] \).

Auf welchen Bereich ist f^-1 definiert? Da die Berechnung von der Umkehrfunktion in diesen Fall alles andere als trivial ist, denke ich, dass man per Intuition entscheiden soll wo diese definiert ist. Die erste als auch zweite Komponente kann theoretisch jeden reellen Wert annehmen, demnach würde ich sagen, dass die Umkehrfunktion auf ganz R^2 definiert ist. Liege ich damit richtig?

Text erkannt:

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left[\begin{array}{c}3 x_{1}+2 x_{2} e^{x_{1}} \\ \log \left(1+x_{1}^{2}\right)+x_{2}\end{array}\right] \).

Comments

Da ... alles andere als trivial ist, denke ich, dass man per Intuition entscheiden soll ...

Ehm. Faust. Auge.

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Also soll man schon die Inverse bestimmen?

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Hallo

nein für die 2 Komponenten den Satz über implizite Funktionen benutzen

lul

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Dieser Satz liefert nur lokale Inverse.

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Ich frage mich, ob dies der Wortlaut der Aufgabenstellung ist?

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Ich hätte nur die Jacobi Matrix bestimmt und geschaut für welche Werte die Determinante 0 ist um gewissermaßen auszugrenzen, jedoch hilft mir das auch nicht wirklich weiter

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Also könnte man evtl sagen, dass f^-1 überall auf R^2 definiert bis auf die Stellen wo det(Df(x_0)=0 ist, also wo diese nicht invertierbar ist

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Das kann man nicht sagen. Dieser Satz liefert nur die Existenz lokaler Inverser.

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Mh, dann müsste man theoretisch f nach x_1 und x_2 auflösen um f^-1 zu bekommen. Sonst bleiben ja nicht viele Möglichkeiten übrig

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Ich frage nochmal, ob Deine Formulierung der genaue Wortlaut der Frage ist.

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Text erkannt:

3. Zeigen Sie, dass folgende Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) an der Stelle \( \underline{x}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right] \) lokal invertierbar ist.
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left[\begin{array}{c} 3 x_{1}+2 x_{2} e^{x_{1}} \\ \log \left(1+x_{1}^{2}\right)+x_{2} \end{array}\right] . \)

Dabei bezeichnet log den natürlichen Logarithmus (zur Basis \( e \) ).
Auf welchem Bereich ist die inverse Funktion \( f^{-1} \) definiert? Ist sie dort stetig differenzierbar? In welchem Punkt ist die Jacobimatrix von \( f^{-1} \) besonders leicht auszurechnen? Wie lautet die Jacobimatrix von \( f^{-1} \) in diesem Punkt?

Zur Sicherheit lade ich die Aufgabe hoch, sodass es zu keinen Missverständnissen kommt. Es ist die Teilaufgabe " Auf welchem Bereich ist die inverse Funktion f^-1 definiert?"

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Dachte ich es mir doch: Es geht nur um die lokale Invertierbarkeit in einer Umgebung eines Punktes, hier (0,1). Dann kann man allgemein nur schließen, dass die Umkehrfunktion auf einer Umgebung des Punktes f(0,1) definiert ist.