Aloha :)
$$f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^2+1}\right)$$Du musst hier nicht zeigen, dass die Funktion surjektiv ist, dass also alle Funktionswerte aus dem Intervall \((-\infty;0]\) angenommen werden. Du sollst lediglich zeigen, dass alle Funktonswerte in diesem Intervall liegen. Das ist ein kleiner aber feiner Unterschied.
Für \(x\ne0\) liegt das Argument im Intervall \((0;1)\), denn:$$0<x^2\implies1<x^2+1\implies\frac{1}{x^2+1}<1\;\text{ und }\;\frac{1}{1+x^2}>0\implies 0<\frac{1}{1+x^2}<1$$Daher ist der Logarithmus über diese Argumente stets negativ:$$f(x)<0\quad\text{für }x\ne0$$Für \(x=0\) wird der Funktionswert \(f(0)=\ln(1)=0\) angenommen.
Daher gilt: \(f(x)\in(-\infty;0]\)
