Bestimmen Sie, für welche Werte für a element R das LGS verschiede Lösungen hat

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welche Werte für a element R das LGS

| x+ y -z = 2

|| x+ 2y +z = 3

||| x +y + (a^2 -5)z = a

a) unendlich viele Lösungen besitzt.

b) keine Lösung besitzt.

c) eine eindeutige Lösung besitzt

Ich verstehe einfach nicht, wie ich das hinkriegen soll, bitte helfen

Comments

Der Vergleich der ersten und dritten Gleichung lässt mich vermuten, dass a=2 interessant sein könnte, da dann rechts beide Male =2 steht.

Außerdem ist (2²-5)•z=-z, sodass beide Gleichungen identisch sind, wenn a=2 gilt.

Geometrisch bedeutet das, dass I und III dieselbe Ebene beschreiben, die die Ebene der Gleichung II in einer Geraden schneidet, da die Normalvektoren linear unabhängig sind. Es gibt also unendlich viele Lösungen für a=2.

Das Quadrat bei a legt nahe, dass a=-2 auch interessant sein könnte.

Die dritte Gleichung wird dann zu

x+y-z=-2 .

Das widerspricht der ersten Gleichung. Geometrisch haben wir zwei parallele Ebenen, die keine gemeinsamen Punkte besitzen. Also gibt es keine Lösung für a=-2.

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Gibt es eine allgemeine Anwendungsregel um solche Aufgaben zu lösen?

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Termumformungen beherrschen können. Es bringen Regeln nichts, wenn man die grundlegenden Rechenfertigkeiten nicht besitzt. Auf dieselbe Lösung wärst du auch gekommen, hättest du die Gleichungen korrekt voneinander subtrahieren können. Und das gilt für so gut wie alle mathematischen Probleme.

Alles andere lernt man durch Erfahrung und das gezielte Suchen nach Mustern und Gesetzmäßigkeiten, so wie Monty es hier offenbar gemacht hat.

Und die allgemeine Regel, ein LGS zu lösen, heißt Gauß.

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die zweite gleichung habt ihr ignoriert, richtig?

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Ja, weil man bereits mit der ersten und dritten Gleichung alle Fälle erzeugen kann.

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die zweite gleichung habt ihr ignoriert, richtig?

In meinem Kommentar hab ich Gleichung II doch erwähnt.

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Sorry, irgendwie verstehe ich das ganze doch noch nicht… wo liegt mein Fehler?

Wenn ich -z - (a^2 -5)z vereinfache, dann kommt doch

-z -a^2z -5z also -a^2 -6z raus oder nicht?

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-z-(a² -5)z

= -1z -a² z + 5z      Minusklammer: -(-...) → +

= -a² z + 4z

= (4-a²)z

:-)

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Ich habe eine ausführliche Antwort geschrieben.

:-)

Answer 1

Hallo,

| x+ y -z = 2 → x = 2-y+z

|| x+ 2y +z = 3

||| x +y + (a² -5)z = a

x eliminieren:

||-| ) y+2z=1  → y = 1-2z → x =2-1+2z+z=1+3z

|||-| ) (a²-4)z = a-2    (IV)

IV → (a-2)(a+2)z = a-2   (V)

Fallunterscheidung:

Für a=2: (V) → 0•4z = 0

Das ist für jedes z∈ℝ erfüllt, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen,

nämlich die Tripel (x;y;z)=(1+3z;1-2z; z).

Nun sei a≠2. Wir dürfen daher (V) durch (a-2) dividieren.

 --> (a+2)z=a-2 (VI)

Durch (a+2) darf nur dividiert werden, wenn a+2≠0 ist. Daher betrachten wir zunächst den Fall a+2=0

 --> a=-2.

(VI) → 0•z = -4 → 0≠-4

Diese Gleichung ist nie erfüllt. Es gibt keine Lösung.

Für a≠±2 gilt:

\(z=\dfrac{a-2}{a+2}\)

Es gibt genau eine Lösung

\((x;y;z) \\= ( 1+3\cdot\dfrac{a-2}{a+2} ; 1-2\cdot\dfrac{a-2}{a+2} ; \dfrac{a-2}{a+2} )\)

:-)

Comments

Vielen lieben Dank, kennst du vielleicht ähnliche Aufgaben zum üben?

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Im Internet gibt es bestimmt sehr viele. Ich würde "LGS mit Parameter Aufgaben pdf" in die Suchmaschine eintippen.

Nimm jetzt am besten erst einmal ein leeres Blatt Papier und versuche ohne die Antworten anzusehen die Aufgabe zu lösen.

Answer 2

Subtrahiere mal Zeile 1 und 3. Was muss diese Gleichung dann erfüllen, damit es eine, keine bzw. unendlich viele Lösungen gibt?

Comments

dann kommt doch

(a^2-5) -2z =a raus

ich weiß das für a.)  0=0

sein muss,

für b.) iwas ungleich etwas anderem wie zb 2=6

und für c.) muss die gleiche zahl vor und hinter dem = stehen,

aber was bring mir jetzt die obrige zeile?

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(a^2-5) -2z =a

Wie kommst du denn darauf?

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Du meintest subtrahier zeile 1 und 3

| x +y -z = 2

|| x + y +(a^2 -5)z = a

bei beiden gleichungen fallen x und y weg und -z -z ergibt doch -2z oder nicht? was mache ich falsch?

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Da steht nirgends \( -z-z \). Da steht \( - z-(a^2-5)z \).

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Ich verstehe das nicht… und auch nicht wohin die = 2 aus Zeile 1 verschwunden ist…

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Die verschwindet ja auch nicht, nur bei dir. Denn \( 2-a \) ist nunmal \( 2-a \). Kannst du nicht mit Termen rechnen?

Stell dir vor \( a^2-5 \) ist irgendeine Zahl und \( z \) sind Äpfel. Dann rechnest du doch \( -1 \textrm{Apfel} - \textrm{irgendeine Zahl von Äpfeln} \). Denn in der Gleichung steht \( (a^2-5)z = (a^2-5) \textrm{ mal } z \).

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„Kannst du nicht mit Termen rechnen“ - so hilft man nicht, tut mir leid, dass ich eine 2 vergessen habe, aber als du mich korrigiert hast, war bei dir auch keine 2 dabei. Ich würde einfach gerne nachvollziehen können, wie du rechnest, aber selbst deine letzte Zeile verstehe ich nicht.

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Ich hatte jetzt erstmal nur die linke Seite betrachtet. Aber wenn du weißt, wie man die rechte Seite berechnet, dann ist ja gut. Es war also nicht klar, dass du die 2 nur vergessen hast, weil du meintest, du verstehst nicht, warum sie verschwindet.

Die letzte Zeile wurde irgendwie zerhunzt. Habe es korrigiert. Du weißt, was \( (a^2-5)z \) bedeutet?

Und wie ich rechne? Ich rechne Zeile 1 minus Zeile 3. Das ergibt \( - z-(a^2-5)z=2-a \).

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Okay, jetzt kann ich die Zeile nachvollziehen, muss ich jetzt die Klammer auflösen mit z multiplizieren?

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Nein. Ich würde es zusammenfassen zu \( (a^2-4)z \).

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Ich glaub, ich lass es sein, verstehe nur Bahnhof, trotzdem danke

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Sorry, hatte einen Tippfehler. Habs korrigiert. Es gilt doch \( - z-(a^2-5)z=-1z-a^2+5z=-a^2+4z=-(a^2-4)z \).

Deswegen die Frage, ob du mit Termen rechnen kannst.

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Bei den a² fehlt zweimal das z.

:-)

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Oh stimmt. Danke für den Hinweis. Kann es leider nicht mehr bearbeiten.

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Nur mal am Rande:

Ich finde lange Gleichungsketten mit Zeilenumbruch lesbarer.

:-)

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Das stimmt. Werde ich in Zukunft beherzigen. Bin aber oft zu faul für LaTeX.