Wie berechne ich die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck?

Question

Wie berechene ich die höhe h in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenuse c=15 cm und den beiden Katheten a= 9cm und b= 12cm.

Answer 1

Du kannst beispielsweise den Kathenten- und Höhensatz verwenden.

Kathetensatz:

a^2 = p*c   (1)

b^2 = q*c   (2)

Höhensatz:

h^2 = p*q  (3)

Es ergibt sich aus (1)

p = 5,4

Aus (2)

q = 9,6

Und damit in (3)

h^2 = 51,84

h = 7,2

Und schon hat man die Höhe h_c = 7,2 cm bestimmt. (Die anderen Höhen entsprechen den jeweiligen anderen Katheten^^.)

Siehe auch Dreieckslöser mit der Grafik.

Grüße

Comments

hey danke, stimmt ja aber das wäre dann nicht über trigo sondern über pythagoras

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Hmm? In der Aufgabe steht nicht nichts von Trigonometrie.

Es gehört zwar zur Satzgruppe des Pythagroas, aber das dürfte bekannt sein?! ;)

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Ich zunächst auch die Lösung mit dem Pythagoras entwickelt,
aber mit Trigonometrie gehts einfacher.

tan ( a ) = 12 / 9 = 1.333
a = 53.13 °
sin ( a ) = h / 9
h = sin ( 53.33 ) * 9
h = 7.2

mfg Georg

Answer 2

Im o.g. rechtwinkligen Dreieck gilt für die Fläche A=ch/2 und ebenso A=ab/2, deshalb ergibt sich für die Höhe h nach Umstellen:

h=ab/c  (Ergebnis ist 7.2).

Die Anwendung von Höhensatz u. Satz des Pythagoras  ist also nicht nötig, wenn alle 3 Seiten gegeben sind!

Falls nur a u. b gegeben sind, bestimmt man als ersten Schritt c (nach Satz des Pythagoras) u. wendet dann og. Formel an.

Answer 3

Wie berechne ich die Höhe h in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenuse \(c=15\) cm und den beiden Katheten \(a= 9\)cm und \(b= 12\)cm.

Thaleskreis über der Strecke A nach B:
\((x-7,5)^2+y^2=7,5^2\)
Kreis um A mit \(r=12\):
\(x^2+y^2=144\) schneidet  \((x-7,5)^2+y^2=7,5^2\) in C:
\((x-7,5)^2+144-x^2=7,5^2\)
\(x=9,6\)  einsetzen in \(9,6^2+y^2=144\): \(y=7,2\) Negativwert entfällt.
Das Dreieck hat eine Höhe von \(7,2\) cm