Probleme bei der Ermittlung des Definitionsbereichs eines Wurzelterms

Question

Aufgabe: R(x) = 2 ± \( \sqrt{\sqrt{x} + x - 1} \)

…

Problem/Ansatz: Hallo Zusammen, ich hänge bei dieser Aufgabe am Definitionsbereich fest und kann ich Lösung im Buch teilweise nachvollziehen, aber nicht lösen. Um den Definitionsbereich zu ermitteln hole ich mir zuerst den Wurzel und quadriere diesen, damit die erste wurden verschwindet. Es bleibt

\( \sqrt{x} \) + x -1 ≥ 0

Um die zweite Wurzel ebenfalls aufzulösen, muss ich den Term nochmals quadrieren und erhalte

\( x^{2} \) + x + 1 ≥ 0

Ab hier beginn mein Problem. Dieser Term lässt sich in der PQ-Formel nicht eintragen, weil du unter der Wurzel der PQ-Formel der Wert wegen q = +1 immer negativ ist.

Meine Vermutung ist, dass ich irgendwie mit den Vorzeichen etwas übersehen habe, aber ich weiß nicht wo. Oder kann es sein, das ein Tippfehler in der Aufgabenstellung im Buch möglich ist und die Aufgabe unlösbar ist.

Im Buch ist die Lösungsmenge des Definitionsbereichs:

D(R) = [0,38197; ∞) => \( \sqrt{x} \) + x -1 ≥ 0

Ich hoffe, dass mir jemand bei diesem Problem helfen kann. Der Rechenweg wäre für mich von Vorteil.

Vielen lieben Dank im Voraus.

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Oder kann es sein, das ein Tippfehler in der Aufgabenstellung im Buch möglich ist und die Aufgabe unlösbar ist.

Einen Tippfehler sieht mein Rechner nicht:

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Hallo Döschwo,

die Funktion ist richtig. Ich bin durch die ausführliche Antwort von ggt22 auf meine eher peinlichen Fehler hingewiesen worden. Ich habe beim zweiten Quadrieren der zweiten Wurzel einen Fehler gemacht und habe nicht den ganzen Term als solche quadriert, sondern lediglich die einzelnen Bestandteile. Mein Fehler war:

\( \sqrt{x} \) ≥ \( x^{2} \) - \( 1^{2} \)

Richtig wäre gewesen

\( \sqrt{x} \) ≥ \( (x -1 )^{2} \)

Fehler ist mir mehr als peinlich. Trotzdem bin ich froh gefragt zu haben, sonst säße ich jetzt noch an dem Problem. Manchmal sieht man das offensichtliche nicht. Trotzdem möchte ich mich sehr bei dir für deine Hilfe bedanken. :-)

Viele Grüße

Thorsten

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In Anlehnung an einen Mathematiklehrer, nach dem sogar ein Asteroid benannt worden ist:

Es gibt keine peinlichen Fragen, höchstens peinliche Antworten.

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Ich sehe das auch so und ich bin mir auch nicht zu schade zu fragen. Anders herum fände ich es schlimmer. Ich hoffe, dass ich mich auch bestmöglich in diesem Forum einbringen und anderen bei ihren Fragen helfen kann. Viele der Fragen übersteigen derzeitig aber noch meinen Horizon.

Answer 1

√x+x-1 >=0

√x >= 1-x |quadrieren

x >= 1-2x+x^2

x^2-3x+1 <= 0

pq-Formel für die Nullstellen:

1,5+-√(2,25-1)

1,5 +-√(5/4)  = 1,5 +-1/2*√5

x1 = 2,62

x2 = 0,382

(x-2,62)(x-0,382) >= 0

Fallunterscheidung

Ergebnisse überprüfen,weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

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Hallo ggT22,

vielen lieben Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort bzw. deinen ausführlichen Rechenweg. Ich sehe jetzt ganz deutlich, wo ich meinen Fehler gemacht habe. Durch dumme Fehler lernt man am meisten. Zeile 2 + 3 waren für mich die entscheidenden. :-)

Viele vielen lieben Dank

Viele Grüße und ein schönes Wochenende,

Thorsten

Answer 2

\( \sqrt{x}  + x -1 \ge 0 \)

i<=>  \( \sqrt{x} \ge  -x +1  \)

Der Graph der Wurzelfunktion und die Gerade schneiden sich bei

(Gleichung Quadrieren und ausrechnen.)

\( x = 1,5 - \sqrt{1,25}  \)  und rechts davon ist die Wurzel größer,

also Def.bereich:     \( x \ge 1,5-\sqrt{1,25} \)

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Hallo mathef,

vielen lieben Dank für die schnelle Antwort. Mir ist noch nicht so ganz klar, wie du auf

\( x = 1,5 - \sqrt{1,25}  \)

gekommen bist. Kannst du mir vielleicht den Rechenweg aufzeigen? Ich wäre ich unendlich dankbar.

Viele Grüße

Thorsten

Answer 3

√x + x - 1 ≥ 0

Substitution: √x = z mit z ≥ 0

z + z^2 - 1 ≥ 0

Lösung der quadratischen Gleichung mit pq-Formel

z ≥ √5/2 - 1/2 (∨ z ≤ - √5/2 - 1/2)

Resubstitution, um die Lösung für x zu erhalten.

x ≥ (√5/2 - 1/2)^2 = 3/2 - √5/2 = 0.3820

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Hallo Der_Mathecoach,

ich möchte mich bei dir für deine Antwort sehr bedanken. Ich hätte nicht gedacht, dass sich so viele freundliche und hilfsbereite Menschen auf mein Problem melden. Ich hatte bereits weiter oben geschrieben, dass ich einen peinlichen Fehler gemacht haben. Beim zweiten Quadrieren, habe ich die einzelnen Bestandteile des Terms quadriert und nicht den ganzen Term auf jeder Seite zusammen. Dadurch habe ich völlig andere Zahlen bekommen, die einfach nicht gepasst haben. Da für mich witzige war, trotz der völlig falschen Zahlen, wäre bei der Änderung eines Vorzeichens das richtige Ergebnis trotzdem raugekommen. Die ganze Zeit habe ich bei der Fehlersuche an der falschen Stelle gesucht, was mir sehr peinlich ist. Allerdings wird mir jetzt dieser Fehler bestimmt nie wieder passieren. :-)

Vielen lieben Dank noch mal für deine schnelle Hilfe.

Ich wünsche dir einen angenehmen Sonntag.

Viele Grüße

Thorsten