Upstream Frage wegen Vorzeichenwechsel mit Ln

Question

Aufgabe:

Problem:

Wie kommt man von der vierten Zeile zur fünften Zeile. Ich verstehe dass man den Ln benutzt um e^ümax*t aufzulösen, aber woher kommt der Vorzeichenwechsel von 1- (yxs_/X0) zu 1 + (yxs/X0). Das sollen die Lösungen sein laut Aufgabe, aber ich bin mir nicht sicher ob es zu 100% stimmt.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\mathrm{t}=\frac{1}{\mu_{\max }} \ln \left(1+\frac{\mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}}{\mathrm{x}_{0}}\left(\mathrm{~S}_{0}-\mathrm{S}\right)\right) \\ \mathrm{t}=\frac{1 \mathrm{~h}}{0,9} \ln \left(1+\frac{0,575 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g}}}{0,12 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}}\left(10 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}-0 \mathrm{~g} / \mathrm{L}\right)\right)=4,3 \mathrm{~h} \\\end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}d S=-\frac{\mu_{\max }}{Y_{\bar{s}}} \cdot x d t=-\frac{\mu_{\max }}{Y_{\bar{s}}} \cdot x_{0} \cdot e^{\mu t} d t \\ \int \limits_{S 0}^{S} d s=-\frac{\mu_{\max }}{Y_{\bar{x}}^{s}} \cdot x_{0} \int \limits_{t 0}^{t} e^{\mu t} d t \\ \mathrm{~S}-\mathrm{S}_{0}=-\frac{\mu_{\max }}{\mathrm{Y}_{\overline{\mathrm{x}}}} \cdot \mathrm{x}_{0} \cdot\left[\frac{1}{\mu_{\max }} \cdot \mathrm{e}^{\mu_{\max } \cdot \mathrm{t}}-\frac{1}{\mu_{\max }} \cdot \mathrm{e}^{\mu_{\max } \cdot \mathrm{t} 0}\right] \\ \mathrm{e}^{\mu_{\max } \cdot \mathrm{t}}=1-\frac{\mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}}{\mathrm{x}_{0}}\left(\mathrm{~S}_{0}-\mathrm{S}\right) \\ \mathrm{t}=\frac{1}{\mu_{\max }} \ln \left(1+\frac{\mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}}{\mathrm{x}_{0}}\left(\mathrm{~S}_{0}-\mathrm{S}\right)\right) \\ \mathrm{t}=\frac{1 \mathrm{~h}}{0,9} \ln \left(1+\frac{0,575 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g}}}{0,12 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}}\left(10 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}-0 \mathrm{~g} / \mathrm{L}\right)\right)=4,3 \mathrm{~h}
Problem/Ansatz:

Answer 1

Rechne mal selbst nach - nach meiner Rechnung stimmt die 5. Zeile (aber die 4. nicht).

Comments

Zuerst klammert man 1/ümax aus ,sodass auf der rechten Seite -1* (X0/Yxs)*(e^µmax*t-1) steht. dann multipliziert man (y/x0) und *-1, sodass die Gleichung wie folgt aussieht:

(-y/xo)* (S0-S) = e^µmax*t - 1

Dann +1 und ln oder?

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Wie kommst Du links auf S0-S? Ich komme da auf S-S0, wie's auch in der 3. Zeile steht. Ansonsten stimmen Deine Überlegungen.

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Die funktion sieht nach dem ausklammern von 1/µmax folgendermaßen aus:

s-s0= -1(X0/Yxs) * (e^µmax*t-1)

alos machen wir *(Yxs/X0) auf beiden Seiten:

(S-S0)*(Yxs/X0) = -1 * (e^µmax*t-1) dann *(-1) und dann entsteht

(-S+S0)*(-Yxs/X0) = e^µmax*t - 1     dann +1 und Ln

ln(1+ (-S+S0)*(-Yxs/X0)) = µmax* t     dann *1/µmax und es entsteht

1/µmax*ln(1+ (-S+S0)*(-Yxs/X0)) = t aber das gibt kein sinn weil wenn Yxs/X0 negativ ist, dann kommt kein Ergebnis raus

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Du brauchst nicht die ganze Rechnung zu prüfen, nur den einen Schritt. Deine Zeile nach "... und dann entsteht" stimmt nicht, weil die linke Seite die gleiche ist wie vorher, aber die rechte mit -1 multipliziert wurde.

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inwiefern ist die linke seite gleich, wenn alles mit -1 multipliziert wurde, deswegen findet doch der vorzeichenwechsel statt und es entsteht (-S+S0)*(-Yxs/X0) = ....

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Du hast in einem Produkt beide Faktoren mit -1 multipliziert, also die gesamte linke Seite mit (-1)*(-1)=1.

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achso man darf nur ein faktor mit -1 multiplizieren, das wusste ich nicht. wie heißt die Regel dafür, auch wenn sich das dumm anhört ?

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Wenn Du z.B. 5*7 mit 3 multiplizieren willst, rechnest Du dann auch 5*3*7*3?

Such nicht nach einer (neuen?) Regel, die Du im Zweifel eh wieder vergisst, sondern mach Dir klar, dass es natürlich(!) so sein muss.

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Die Regel würde ich als

\(\boxed{1  \neq -1} \) 

formulieren.

Entweder multiplizierst Du beide Seiten mit 1 (macht zwar keinen Sinn) oder beide Seiten mit -1.

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Vielen lieben Dank mein(e) beste(r)