Bestimmen Sie eine Lösung für f mithilfe der Separation der Variablen.

Question

Aufgabe:

Zur exponentiellen Zunahme gehört die Differentialgleichung f'(x) = k × f(x) und f(0)=a. Bestimmen Sie eine Lösung für f mithilfe der Separation der Variablen.

Problem/Ansatz:

Komme nicht Mal ansatzweise auf ein logisches Ergebnis...

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

f'(x) = k × f(x)

Andere Schreibweise:

\( \frac{dy}{dx}=k\cdot y \).

Umgestellt:

\( \frac{dy}{y}=k\cdot dx \).

Kann auch so geschrieben werden:

\( \frac{1}{y}dy=k\cdot dx \).

Jetzt auf beiden Seiten integrieren...

Comments

Wie würde dann das fertige Ergebnis als Funktion bzw. Lösung der DGL aussehen?

Ich komme auf e^k²/2

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Also mein Ergebnis ist ja offensichtlich falsch. Wie integrieren ich denn die beiden Seiten richtig?

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Es geht weiter mit ln |y| = kx + c.

Damit gilt |y|=\( e^{k·x+c} \).

Wenn wir C=\( e^{c} \) setzen wird daraus

|y|=\(C· e^{k·x} \).