prozent in rentenrechnung berechnen

Question

hallo.

habe die gleichung

25 = 9 + 9 * [1+(1+i)^2] + [1+(1+i)^4]


wie komme ich denn auf i?

Answer 1

25 = 9 + 9 * [1+(1+i)²] + [1+(1+i)⁴]

Nun, da ersetzen wir erst einmal (1 + i) durch x , also:

<=> 25 = 9 + 9 * [ 1 + x ²] + [ 1 + x ⁴]

<=> 16 = 9 * [1 + x ²] + [1 +x ⁴]

Ausmultiplizieren:

<=> 16 =9 + 9 x ² + 1 + x ⁴

<=> 6 = 9 x ² + x ⁴

Nun ersetzen wir x ² durch u, also:

<=> u ² + 9 u = 6

auf beiden Seiten quadratische Ergänzung addieren:

<=> u ² + 9 u + 4,5 ² = 6 + 4,5 ² = 26,25

<=> ( u + 4,5 ) ² = 26,25

<=> u + 4,5 = ± √ ( 26,25 )

<=> u = ± √ ( 26,25 ) - 4,5

=>

u₁ = - √ ( 26,25 ) - 4,5 ≈ - 9,623

u₂ = √ ( 26,25 ) - 4,5 ≈ 0,623

Rückersetzung: x ² = u also:

x = ± √ u

Da u₁ negativ ist, liefert x = ± √ u₁ keine reelle Lösung für x.
Also Lösung höchstens:

x = ± √ u₂

Rückersetzung ( 1 + i ) = x , also:

i = x - 1 = ± √ ( u₂ ) - 1

=>

i ₁ = - √ ( u₂ ) - 1 = - √ ( √ ( 26,25 ) - 4,5 ) - 1 ≈ -1,79

i ₂ = √ ( u₂ ) - 1 = √ ( √ ( 26,25 ) - 4,5 ) - 1 ≈ - 0,21

Answer 2

Das Ergebnis wurde mit einem Matheprogramm
geprüft und stimmt.

mfg Georg