Vereinfachung von trigonometrischen Ausdruck

Question

Text erkannt:

\( 18: 20 \)
Dienstag 26. März
ح ๑ \( 49 \% \)
MAHA3
\( \times \)
Vorlesung MA 20.03
\( \begin{array}{l} \text { a) } \cos \left(20^{\circ}\right)-4 \sin ^{2}(20) \cdot \cos \left(20^{\circ}\right) \\ x=\frac{\alpha}{180^{\circ}} \cdot \pi \\ \frac{20^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi=\frac{1}{g} \pi=0.349 \\ 4 \cdot \frac{1}{8} \pi=\frac{4}{g} \pi=1,396 \\ 1,396^{2}=1,949 \\ \end{array} \)
\( \begin{aligned} & \frac{1}{g} \pi-\left(\frac{4}{g} \pi^{2} \cdot \frac{1}{5} \pi\right) \\ = & 0,34 g-(1,94 g \cdot 0,34 g) \\ = & 0,349-0,680 \\ = & -0,331 \end{aligned} \)

Aufgabe 3: Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich:
(a) \( \cos \left(20^{\circ}\right)-4 \sin ^{2}\left(20^{\circ}\right) \cos \left(20^{\circ}\right) \)
(b) \( \sin \left(75^{\circ}\right) \cdot \sin \left(15^{\circ}\right) \)
(c) \( \cos ^{4}\left(\frac{\pi}{12}\right)-\sin ^{4}\left(\frac{\pi}{12}\right) \)

Aufgabe:vereinfache den trigonometrischen Ausdruck so weit wie möglich

Problem/Ansatz:

Also ich hab jetzt versucht die Zahlen einfach umzurechnen, aber ich weiß nicht ob ich das so machen darf und zudem sieht meine Rechnung seltsam aus. Wäre dankbar wenn wer drüberschauen

Fehler: Dateityp „“ ist nicht erlaubt.

könnte und auch erklären könnte dass ich dasselbe Vorgehen auch bei b und c machen darf…

Answer 1

Vielleicht so:

\(  \cos \left(20^{\circ}\right)-4 \sin ^{2}(20) \cdot \cos \left(20^{\circ}\right)  \)

ausklammern gibt

\( = \cos \left(20^{\circ}\right) ( 1-4 \sin ^{2}(20^\circ) )  \)

\( = \cos \left(20^{\circ}\right) ( 1-2 \sin ^{2}(20^\circ) -2 \sin ^{2}(20^\circ) )  \)

Formel für doppelten Winkel bei cos gibt

\( = \cos \left(20^{\circ}\right) ( \cos(40^\circ) -2 \sin ^{2}(20^\circ) )  \)

\( = \cos \left(20^{\circ}\right)\cos(40^\circ) -2 \cos \left(20^{\circ}\right)\sin(20^\circ) \sin(20^\circ)   \)

Formel für doppelten Winkel bei sin gibt

\( = \cos \left(20^{\circ}\right)\cos(40^\circ) -\sin(40^\circ) \sin(20^\circ)  \)

Add.theorem für cos gibt

\( = \cos \left(60^{\circ}\right) = 0,5 \)

So führt die Vereinfachung letztlich auch zur Berechnung !

Bei b) wohl so:

\( \sin \left(75^{\circ}\right) \cdot \sin \left(15^{\circ}\right) \)

\( = \sin \left(90^{\circ}-15^{\circ}\right) \cdot \sin \left(15^{\circ}\right) \)

\( = \cos\left(15^{\circ}\right) \cdot \sin \left(15^{\circ}\right) = \cos\left(15^{\circ}\right) \cdot \sin \left(15^{\circ}\right) \)

Dann Formel für halben Winkel

\( =\sqrt{\frac{1- \cos \left(30^{\circ}\right)}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1+ \cos \left(30^{\circ}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{1- \frac{3}{4}}{4}}=\frac{1}{4}\)

Comments

Ahhh vielen Dank das macht mehr Sinn. ich verstehe nur nicht ganz woher die

1-4sin^2 nach dem ausklammern kommt also um genau zu sein die 1

---

\(  \cos \left(20^{\circ}\right)-4 \sin ^{2}(20) \cdot \cos \left(20^{\circ}\right)  \)
\(=  \cos \left(20^{\circ}\right) \cdot 1 -4 \sin ^{2}(20) \cdot \cos \left(20^{\circ}\right)  \)

---

aber warum macht man das so?

---

Ich habe es erstmal in den TR eingetippt und kam

auf ungefähr 0,5. Das erzeugte den Verdacht,

dass es hier wohl letztlich um cos(60°) geht und ein Blick

auf den Zusammenhang mit 20°+40° führte zum Ziel.

Habe für b) auch was ergänzt.

---

Ahhhhh vielen dank ich glaub jetzt hab ichs und danke für die Ergänzung ich versuch mich mal an c

---

Bei c) würde ich erstmal mit der 3. binomi. Formel

versuchen und dann mit cos(2x).

Komme auf 0,5*√3 .

Answer 2

Selbstverständlich darf man das Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und umgekehrt. Es geht in der Aufgabe allerdings nicht darum, die Terme zu berechnen, sondern zu vereinfachen. Wende also geeignete Additionstheoreme und Identitäten der trigonometrischen Funktionen an.

Comments

hmm daran hatte ich auch schin gedacht, aber mit den additionsthermen komme ich nicht weit, da wir ja auch multiplizieren oder kann ich einfach die hälfte mit den additionsthermen vereinfachen und den teil mit der multiplikation so lassen?

---

Es gibt auch Theoreme, wo Produkte vorkommen.