Welche der Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Bsp. f: Z → Z, f(x) = x + (x mod 3)

Question

Welche der Funktion sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Begründen Sie Ihre Antworten.

(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+3 x \)
(b) \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=x^{2}+3 x \)
(c) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=x+(x \bmod 3) \)
\( (x \bmod 3 \in\{0,1,2\} \text { ist der Rest von } x \text { bei Division durch } 3 .) \)
(d) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=|x| \)
(e) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{2}-3 x \)

Ansatz:

Bei der ersten weiß ich, dass die Nullstellen -3 und 0 eingesetzt gleich 0 ergeben, somit nicht injektiv. Aber nicht surjektiv, meint mein Tutor, weil f(x)=-4 Element von ℝ hat keine reelle Lösung.

Bei b.) ist injektiv weil für x<y gilt also f( f(x)<f(y):f(y)-f(x)=y^2 +3y - x^2 +3x =(y-x)(y+x+3)>0 dabei für x/=y gilt f(x)/=f(y)

Answer 1

Eure Definitionen kannst du selber nachlesen. Wenn die unklar sind: Bitte hier genau angeben.

Ich beschreibe jetzt mal, woran man die solche Funktionen erkennt:

Eine Funktion ist injektiv, wenn jeder Bildpunkt nur einen einzigen Urbildpunkt (also Ausgangswert auf der x-Achse) hat.

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Punkt im Wertebereich der Funktion tatsächlich auch als Funktionswert vorkommt.

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. In diesem Fall ist sie im ganzen Definitionsbereich und Wertebereich eindeutig umkehrbar.

f: R--> R: f(x) = x^2 + 3x hat als Graph eine nach oben geöffnete Parabel. Somit kommen fast alle y-Werte doppelt vor.
injektiv stimmt nicht. Zudem gibt es negative y-Werte die nie angenommen werden. Also nicht surjektiv.

f: N------> N. f(x) = x^2 + 3x.          Annahme bei euch ist N={1,2,3,4…} ohne 0
kleinster Funktionswert ist dann: f(1) = 1 +3 = 4. Somit kommen zB 1,2,3 nicht als Funktionswerte vor. Die Funktion ist nicht surjektiv. Aber aus jedem Funktionswert kann man eindeutig wieder zurück nach x rechnen. Deshalb injektiv. Da nicht beides gilt: nicht bijektiv.

Ich hoffe, dass dir das ein Stück weiter hilft. Rechne einfach möglichst viele Funktionswerte aus. Am besten in einer Tabelle und zeichne einen Graphen. Dann siehst du sofort, in welche Richtung resp. in welchem Bereich eine Funktion die verlangten Eigenschaften hat oder nicht.