Ist das Zeichen in der Abschätzung falsch ?
Denn ich denke es muss |f(x) -s(x)| ≤ \( \frac{1}{4} \) \( \sqrt{h} \) heißen.
Das ist ja auch eher sinnvoll sich zu überlegen wie groß
der Fehler höchstens ist.
Da die Steigung der √-Funktion für wachsende x-Werte abnimmt
( Ableitung ist streng monoton fallend.) und s(x) stückweise
linear ist, ist die Differenz |f(x) -s(x)| im ersten Teilintervall
am größten.
Die Intervallgrenzen sind 0 und h also die entsprechenden
Punkte des Graphen von f sind (0;0) und ( h ; √h) .
Also hat s die Steigung \( m=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}} \)
Und die Gleichung der Splinefunktion im ersten Intervall ist
\( y=\frac{1}{\sqrt{h}} \cdot x \) Dann ist also d(x) = |f(x) -s(x)| =\( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{h}} \cdot x \).
Das ist nie negativ (Betrag kann also weg.) und hat sein
Maximum dort, wo die Ableitung von d gleich 0 ist,
also betrachten wir diese: d ' (x) = \( \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{h}} \) und setzen
sie gleich 0, das gibt \( x=\frac{h}{4} \). Und es ist d ' ' an dieser Stelle
negativ, also dort wirklich ein lok. Maximum. Sein Wert ist
\( d(\frac{h}{4} ) = \sqrt{\frac{h}{4} }-\frac{1}{\sqrt{h}} \cdot \frac{h}{4} = \frac{1}{4} \cdot {\sqrt{h}} \).
Und weil dies das Maximum ist, sind die anderen Werte kleiner
oder gleich diesem Wert , also ist die zu beweisende Ungleichung
\( |f(x) -s(x)| ≤ \frac{1}{4} \cdot {\sqrt{h}} \).
