Extremwertaufgabe: Zylindrische Dose

Question

Aufgabe:

Eine EU-Norm soll für zylindrische Blechdosen erarbeitet werden. Bei der Produktion soll möglichst wenig Blech verbraucht werden.

Welche Maße muss die EU-Norm vorschreiben, wenn 1 Liter Gemüse in die Dose passen sollen?

Kann mir jemand helfen ? ich komme überhaupt nicht weiter, ich brauche jemand der mir diese aufgabe löst, mit lösung schritte und bisschen erklären wäre top.

ich brauche dann

1- Hauptbed.

2- Nebenbed.

3- Defintionsbereich

4- Hauptbed in Nebenbed einsetzen

5- die Extrempunkte durch ableitung.

ich bitte um hilfreiche antworten mit der lösung.

Comments

Kam gerade kürzlich, siehe https://www.mathelounge.de/1070270/

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Gefühlt die 100. Dose in der mathelounge.

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Gefühlt die 100. Dose in der mathelounge.

Dann ist ein Mengenrabatt fällig oder eine Draufgabe.

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Aber das

Hauptbed in Nebenbed einsetzen

ist irgendwie innovativ.

Answer 1

V= 1L = 1dm³ = 1000cm³

r²*pi*h = 1000

h= 1000/(r²*pi)

O = 2*r²*pi+ 2r*pi*h

O(r) = 2r²*pi+ 2000/r

Minimum bestimmen:

O'(r) = 0

4*r²*pi-2000/r = 0

4r³*pi-2000 = 0

r³ = 2000/(4*pi) = 500/pi

r= (500/pi)^(1/3) = 5,42 cm

h= 1000/(r²*pi) = 10,84 cm

Das Problem ist nur: eine Variable durch eine andere auszudrücken und dann abzuleiten (Faustformel für solche Aufgaben)

Comments

Wenn es von anderen gelöst wird, verschwindet das Problem im Nichts. :)

4*r*pi-2000/r = 0

Und da fehlt was.

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Wenn es von anderen gelöst wird, verschwindet das Problem im Nichts

Hoc in casu tibi contradicere non licet. Ubi recte dicis, dicis recte.

PS:

Interessant, als ich heute das Wort "liebevoll" in einem Beitrag von dir las. Ich war baff und sehr angenehm berührt. Hätte ich dir nie zugetraut. Ich liebe solche Überraschung.

Es hat mich sofort an ein Zitat des großen Theologen Karl Rahner erinnert, das du als nüchterner Mathematiker gern belächeln oder als Schmarrn abtun darfst. Es lautet:

„Die in freiem geschichtlichen Walten sich mitteilende absolute Zukunft
des Menschen, die Gott ist, ist aber in einer besonderen Weise der ‚Geist’
Gottes, weil er als Liebe, Freiheit, immer überraschende Neuheit charakte-
risiert werden kann.

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kannst du bitte bisschen genauer sein?

wo ist die hauptbed und nebenbed?

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Da wo steht "function" ist es die Hauptbedingung / Zielfunktion.

Da wo steht "domain" ist es die Nebenbedingung.

Da wo steht "local minimum" ist es die Lösung.

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wo ist die hauptbed und nebenbed?

HB = Volumen muss 1000 cm³ sein

NB = Die Oberfläche soll minimal sein

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HB = Volumen muss 1000 cm³ sein

NB = Die Oberfläche soll minimal sein

Du schreibst hier öfter in Latein.

Wie würde man "Andersrum, beim Teutates!" in der Sprache der alten Römer schreiben?

Answer 2

Hallo,

das, was im Aufgabentext als maximal oder minimal berechnet werden soll, ist die Hauptbedingung, hier also die Oberfläche einer Blechdose in Zylinderform: $O=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot \pi\cdot r\cdot h$

Die Nebenbedingung versteckt sich meist mit einer Zahl, hier ist es das Volumen der Dose, die 1 l fassen soll, also $V=\pi\cdot r^2\cdot h=1$.

In der Hauptbedingung befinden sich die beiden Variablen r und h. Um eine davon zu eliminieren, löst du die Nebenbedingung nach r oder h auf und setzt das Ergebnis in die Gleichung der Hauptbedingung ein.

Auflösung nach r: $r=\sqrt{\frac{1}{\pi\cdot h}}$

Auflösung nach h: $h=\frac{1}{\pi\cdot r^2}$

Das ergibt $O=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot \pi\cdot r\cdot \frac{1}{\pi\cdot r^2}$ bzw. $O=2\pi r^2+\frac{2}{r}$.

Bilde davon die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach r auf.

Ergebnis: s. Antwort von ggT

Definitionsbereich: s. Antwort vom Apfelmann

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Dankeschön :) können sie bitte einfach die komplette lösung schreiben? wäre sehr nett, ich bereite mich dann auf die nächsten aufgaben.

ich habe sehr wenig ahnung deshalb.

bitte um die komplette lösung.

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Ergebnis: s. Antwort von ggT

Was ist daran missverständlich?

Answer 3

Was davon kannst du denn nicht? Suche erstmal die Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders heraus.

1. $O = \ldots$

2. $V = \ldots$ (1 Liter = 1 dm^3 = 1000 cm^3)

3. Welche Werte für Höhe und Radius sind denn sinnvoll? Hängt davon ab, ob deine Oberfläche am Ende von $r$ oder $h$ abhängt, für welche Variable du den Definitionsbereich angeben musst.

4. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen. Löse dazu die Nebenbedingung nach $r$ oder $h$ auf (oder nach einem anderen Ausdruck, der in der Hauptbedingung vorkommt, z.B. $r^2$). Jetzt merkt man, dass man Punkt 4 vor Punkt 3 machen sollte.

5. Das Bestimmen von Extrempunkten solltest du mittlerweile beherrschen. Notwendige und hinreichende Bedingung sowie Prüfung der Randwerte. Falls das noch nicht klappt, gibt es Wiederholungsbedarf.

Fang an und erläutere, wo du hängen bleibst.

Comments

das hilft mir nicht, wie gesagt ich brauche die komplette lösung.

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Nein. Du brauchst eine andere Arbeitseinstelllung. Wenn du nicht mal die passenden Formeln heraussuchen kannst, würde ich mir ernsthaft mal Sorgen und Gedanken machen!