Kombinatorik: Multinominalkoeffzient lösen Polynom

Question

Aufgabe:

Wie groß ist der Koeffizient vor x¹⁰ y⁸ in dem Polynom (2x+3y)¹⁸

Wie kann man solche Aufgaben generell lösen. Hat jemand ein Beispiel auh zeigen mit vier Variablen sowas wie (x+y+2z+u)^21 ...?

Answer 1

Wie würde das im Bruch aussehen?

Muss ich dir das wirklich auch vormachen?

20!/(8!·8!·2!·2!) = 374130900

Ich denke über ein Mindestmaß an gedanklicher Anstrengung hättest du da durchaus auch selber drauf kommen können. Vielleicht, auch wenn du mal bei Wikipedia über den Multinominalkoeffzienten nachgelesen hättest oder dir dazu ein Video angeschaut hättest.

Warst du nicht im Studium? Sollte man dort nicht ein wenig mehr Eigenleistung erwarten können?

Comments

WIe würde man mit den Koefiizten 2 vor u und z umgehen?

---

WIe würde man mit den Koefiizten 2 vor u und z umgehen?

Das habe ich oben bereits geschrieben.

Soll ich es nochmal schreiben oder schaust du selber nach?

---

Mmm. Ich verstehe die letzten Zwei Sätze nicht. Könntest du mir bitte einfacher Formulieren?

---

Mmm. Ich verstehe die letzten Zwei Sätze nicht. Könntest du mir bitte einfacher Formulieren?

Du multiplizierst

374130900·x^8·y^8·(2·z)^2·(3·u)^2

aus und vereinfachst den Koeffizienten zu einer einfachen Zahl.

374130900·x^8·y^8·2^2·z^2·3^2·u^2
= 374130900·4·9·x^8·y^8·z^2·u^2
= 13468712400·x^8·y^8·z^2·u^2

Das 13468712400 der Koeffizient ist sollte dabei klar sein.

Answer 2

(2x+3y)¹⁸=\( \begin{pmatrix} 18\\0 \end{pmatrix} \) (2x)¹⁸+\( \begin{pmatrix} 18\\1 \end{pmatrix} \) (2x)¹⁷(3y)¹+ \( \begin{pmatrix} 18\\2 \end{pmatrix} \) (2x)¹⁶(3y)²+ .....

Der Koeffizient von x¹⁰·y⁸ ist 293986547712.

Comments

das geht abe jetzt nur weil es zwei Variablen aussehe. Wie schaut ds mir 3 und mehr aus?

---

Wir lassen offenbar beide einige Buchstaben unter den Tisch fallen.

Für ein Multinom wäre die Antwort leichter, wenn man wüsste, welcher der Koeffizienten gesucht ist.

---

Mach dir mal den Spaß und Rechne

(a + b + c + d)^n für n = 1, 2, 3

aus. Es gibt für n jeweils

(4 + n - 1 über n) = (n + 1)·(n + 2)·(n + 3)/6

zusammengefasste Summanden.

Eigentlich müsste es ja 4^n Summanden geben. Der Koeffizient gibt also an, wie viele einzelne Summanden dann zu einem zusammengefasst werden.

---

Mathecoach, falls du den FS ansprichst, unterstütze ich deinen Vorschlag. Falls du mich ansprichst, weiß ich dass (x+y+2z+u)²¹ in Type 'Aptos' 11 pt etwa 14 DIN-A-4 Seiten lang ist.

---

Falls du mich ansprichst,

Nein. Es war schon der Fragesteller gemeint. Und (a + b + c + d)^21 zu notieren ist ja auch sehr schrecklich.

Man müsste dann wissen, um welchen Summanden der Form

a^w·b^x·c^y·d^z mit w+x+y+z = 21 es konkret geht.

Aber der FS darf sich ja selber mal eine Herleitung überlegen. Dazu könnte die Untersuchung kleinerer Potenzen dienen, um eine Idee/Formel zu entwickeln.

---

Jetzt hätte ich konkretere Werte:

Wie groß der Koeffzient vor dem x⁸  y⁸ z² u² in dem Polynom (x+y+2z+3u)^20?

Wie würde ich gernell mithilfe der Kombinatorik sowas lösen?

Ich hatte was über den Multinominalkoeffizienten gelesen.

---

Der genaue Term lautet dann

374130900·x^8·y^8·(2·z)^2·(3·u)^2
= 374130900·x^8·y^8·4·z^2·9·u^2
= 13468712400·x^8·y^8·z^2·u^2

Aber du solltest eigentlich mal probieren dir den Koeffizienten herzuleiten, als auf eine abschreibbare Lösung zu warten, was du natürlich auch tun kannst.

Der Koeffizient 374130900 ist doch nur die Anzahl der Möglichkeiten die man hat aus den 20 Faktoren die 8 zu bestimmen bei denen das x steht, die 8 zubestimmen bei denen das y steht, die 2 zu bestimmen bei denen 2·z steht und die 2 zu bestimmen bei denen 3·u steht.

Und genau das kann man mit dem Multinominalkoeffizienten machen.

---

Wie würde das im Bruch aussehen?