Einige Differentialgleichungen Substitution

Question

Aufgabe: Hey,

Ich habe ein paar Differentialgleichungen bei denen ich nicht weiterkomme.

Bekomme ich Tipps/Ansätze oder vielleicht auch den kompletten Rechenweg?

(Bei der Jacobi-Dgl. genügt es, die Ersatzdifferentialgleichung herzuleiten und die Zuordnungen für die Trennung der Veränderlichen vorzunehmen.)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(i) \( e^{-y} y^{\prime}=2 x e^{y} e^{\left(x^{2}\right)} \cos \left(3 x^{2}\right) \) mit \( y(\sqrt{\pi})=-\frac{\pi}{2} \)
Hinweis: Bei der Berechnung des Definitionsbereichs der Lösung genügt es eine Ungleichung zwischen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktion anzugeben.
(ii) \( \frac{1}{4} \cdot \frac{2 y-2 x+8}{x-3 y-4}+y^{\prime}=\frac{x-3 y-4}{8-2 x+2 y} \) mit \( y(0)=1 \)
(iii) \( 0=x^{2} \ln (x)-y^{\prime}+\frac{1}{x \ln (x)} y \) mit \( y(2)=3 \)
(iv) \( x^{2}+y^{2} \ln \left(\frac{y}{x}\right)=x y y^{\prime} \cdot \ln \left(\frac{y}{x}\right) \) mit \( y(2)=1 \)
(v) \( y^{\prime}=2 \sin \left(x^{2}\right) \cdot \cos \left(x^{2}\right) x y^{-\frac{1}{2}}+2 x y \sin \left(x^{2}\right) \) mit \( y(\sqrt{\pi})=\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{2}{3}} \) und \( y>0 \)
(vi) \( -\frac{x^{2}+4}{\left(y^{2}+1\right)^{2}} y^{\prime}=\frac{x}{y}\left(\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{y^{2}+1}\right) \) mit \( y(0)=-2 \)
Hinweis: Bei der Berechnung des Definitionsbereichs der Lösung genügt es eine Ungleichung anzugeben, die nicht einfach algebraisch zu lösen ist.

Danke

Answer 1

Hallo,

hier einige Tipps:

Aufgabe ii:

Substituiere: z= y -x+4 ---->Tipp verworfen

neue Substitution:

z =x-4 und

v=y/z

siehe Lösungsweg:

weiterer Weg:

- Lösung der DGL via Trennung der Variablen

- linkes Integral via Partialbruchzerlegung lösen

- Resubstitution der DGL

-AWB in die Lösung einsetzen

iii)Variation der Konstanten

Es gilt allgemein: y' +A(x) y= B(x)

1.homogene DGL berechnen:
y' +A(x) y= 0->Trennung der Variablen

y' -y/(x ln(x))=0

yh=C₁ ln(x)

2. Setze C₁= C(x)
yp= C(x) ln(x)
yp'= C'(x) *ln(x) +C(x) * (1/x)
3.Setze yp und yp' in die DGL ein:

C'(x) *ln(x) +C(x) * (1/x) - (C(x) ln(x))/(x ln(x)= x^2 ln(x)

dabei muß C(x) herausfallen, wenn Du richtig gerechnet hast,

C'(x) *ln(x) = x^2 ln(x)

C'(x)  = x^2 

C(x)=x^3/3

4. yp= x^3/3 *ln(x)
5. y= yh+yp

Lösung: y= C₁ ln(x) +x^3/3 *ln(x)

dann die AWB noch in die Lösung einsetzen

iv)  Substitution : z=y/x

 ->y=z*x ->y'=z+z'x

v) Bernoulli-DGL

vi) Exakte DGL

Comments

(ii) Sollte ich direkt die Anfangsgleichung substituieren?

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2y -2x +8= 2(y-x+4)

->z= y-x+4

y= z+x-4

y' =z' +1

das dann in die DGL einsetzen

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Ist es möglich eine ähniche Anleitung auch für (ii); (iv); (v) und(vi) zu bekommen?

Danke für die Ausführung bei (iii) 

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wurden an der Uni sowas nicht behandelt, mal frag?

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Es wurde beahndelt, aber nicht in dem Schwierigkeitsgrad.

Answer 2

Hallo

zu viele Aufgaben für eine frage. also erstmal i

1. Trennung der Variablen, also mit e^-y multiplizieren, das Integral mt u=x^2 du=2xdx vereinfachen, danach partielle Integration.

reicht das an Tips?

Gruß lul

Comments

bei (i) liegt mein Problem eher beim Lösen des Integrals durch partielle Integration. Wenn ich es so löse, bekomme ich doch wieder ein Integral, welches ich wieder durch partielle Integration lösen muss. Das wird meiner Ansicht nach eine Endloschleife aus partieller Integration.

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Wenn du Wolframalpha als App hast, dann kann die App meist auch eine Step bei Step-Lösung anbieten. Beim Lösen von Integralen kann bei Bedarf auch ein Integralrechner helfen.

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Damit wäre (i) erledeigt

Vielen Dank