Riemann Integral von einer untypischen Funktion

Question

Ich soll diese Funktion auf Riemann-Integrierbarkeit untersuchen und ggf das Ober und Unterintegral bestimmen. Kann mir einer einen Tipp geben, da ich gar keine Idee dafür habe. (Ich möchte keine Lösung, denn ich will es schon trotzdem selber machen können)

Text erkannt:

\( [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in\left\{\frac{1}{n} \ln \in \mathbb{N}\right\} \\ 0, & \text { sonst }\end{array}\right. \)

Answer 1

Kein mitgelieferter Versuch diesmal?! Wo ist das Problem?

Schreib Unter- und Obersumme hin. Du solltest schnell sehen, dass die US stets 0 gibt. Bei der OS muss man dann genauer hinschauen.

Comments

Ich habe eine Idee. Ich probiere es mal

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Wie lautet die von dir verwendete Zerlegung, n=?

Was ist mit US, das ist einfacher um sich ranzutasten?!

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Ich hatte die Idee es so zu machen

Text erkannt:

Unterteile \( [0,1] \) mit
\( a=0<\ldots<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<1=b \)

Dann ist ja für jedes x in (1/(i-1), 1/i) f(x) = 0

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Nochmal: n=?

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In dem Fall zerlege ich es ja in unendlich viele n, da die Unterteilung ja a = 0 < … < 1/2 < 1 = b war

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Nein, n ist eine natürliche Zahl. Schau erstmal genau(!) nach, was eine Zerlegung ist.

Mach dann einen sauberen Nachweis für US=0.

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Ok ich werde es nochmal probieren und mich dann melden. Danke

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So?

Text erkannt:

Man zerlege mithilte Ober \( x \) Untersummen das Intervall \( [0,1] \) in \( n \)-Teilintervalle \( \left[(i-1) \frac{1}{n}, i \frac{1}{n}\right], i=1 \ldots, n \) mit der länge \( \Delta x=\frac{1}{n} \). Also ist mit \( x_{i}=i \cdot \frac{1}{n} \) unsere Unterteilung \( a=x_{0}=0<x_{1}<\ldots<x_{n}=b \) \( =1 \).
\( \begin{array}{l} U_{f}=\sum \limits_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x=\sum \limits_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n}=\underbrace{f\left(\frac{1}{n}\right)}_{=1} \frac{1}{n}+\underbrace{f\left(\frac{2}{n}\right)}_{=0} \frac{1}{n}+\ldots+\underbrace{f(1) \cdot \frac{1}{n}}_{=1} \\ =\frac{2}{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 \end{array} \)

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Da fehlt noch einiges an Verständnis der Begriffe. Man zerlegt nicht mithilfe Ober/Untersummen...

Du hast weder Unter- noch Obersumme berechnet, sondern die Riemannsumme für eine Zerlegung. Warum heißt denn eine Untersumme wohl Untersumme? Die Def. der Begriffe kannst Du an unzähligen Stellen im Internet nachlesen, sicher auch in Deinen Vorlesungsunterlagen.

Ich habe behauptet: Die US jeder beliebigen Zerlegung ist =0. Lies genau und weise das nach.

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Ich glaub die Nullfunktion als Treppenfunktion wäre gut geeignet. Sie ist ja kleiner gleich f und dessen Integral ist 0, was ja Untersumme ist. oder?

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Nein. Es gibt hier keine Funktion auszuwählen. Die Definition von US steht auf https://de.m.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#:~:text=Ober%2D%20und%20Untersummen,-Dieser%20Zugang%20wird&text=Die%20Summe%20der%20Fl%C3%A4cheninhalte%20der,der%20kleinen%20als%20Untersumme%20bezeichnet.

Dort U(Z). Verwende nichts anderes. Setze nur ein und rechne aus.

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Danke, das Du mir hilfst. Ich hätte aber noch zwei Fragen:

1. Wie bilde ich denn bei so einer Funktion die Untersumme (Bei x |-> x^2 ist das klar, aber bei dieser ist es halt bischen unklar)

2. wenn man zwei Treppenfunktionen t mit   f ≤ t  und g mit g ≤ f findet, wobei der Limes des Integrals von t gleich dem Limes des Integrals von g ist, ist man dann nicht schon fertig? Also in dem Fall ist ja ganz klar g(x) = 0 eine Treppenfunktion mit g ≤ f & ich müsste ja dann eine Treppenfunktion t mit f ≤ t und lim des Integrals von t = 0 finden, oder nicht?

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Was willst Du mit Treppenfunktionen? Nachdem Du die Def. von US nicht gefunden hast, hab ich Dir einen konkreten Link genannt. Da steht eine Formel, benutze die. Ich zitiere mich selbst:

Dort U(Z). Verwende nichts anderes. Setze nur ein und rechne aus.

Insb. hast Du nichts mit Treppenfunktionen zu tun.