Wahrscheinlichkeit; ein Stapel leer, der andere enthält j Teller.

Question

Aufgabe:

In einem Restaurant gibt es zwei Stapel mit jeweils n ∈ N Tellern, die an unterschiedlichen Orten aufgebaut sind. Immer wenn der Koch ein Gericht fertig hat, schickt er einen seiner Mitarbeiter zufällig und mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der beiden Stapel um einen Teller zu holen. Sein Mitarbeiter kehrt danach, egal ob es sich um den letzten Teller des Stapels gehandelt hat oder ob noch Teller auf dem Stapel verblieben sind, zu seiner ursprünglichen Tätigkeit zurück. Eines Tages schickt der Koch wieder einen seiner Mitarbeiter einen Teller holen. Dieser kehrt jedoch ohne Teller zu ihm zurück und berichte ihm, dass der Stapel mit Tellern leer ist. Dies ist das erste mal, dass dies passiert. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf dem anderen Stapel noch j ∈ {0, . . . , n} Teller befinden?

Problem/Ansatz:

Wie soll man hier jetzt genau vorgehen? Es muss ja ebenfalls eine allgemeine Formel für Alle möglichen n geben. Einige der Sonderfälle sind ja ziemlich klar aber wie verkleinert man dieses Problem?

Answer 1

Schaffst du es, das Problem für die konkreten Werte n = 1, 2, 3 zu analysieren?

Spätestens nach der Untersuchung von n = 3 sollte klar sein, wie es für beliebige Werte von n aussieht.

Comments

Also um ehrlich zu sein leider nicht...

In der Schule hatten wir nur ganz kurz Stochastik und das auch nicht richtig. Bin da deswegen ein wenig aufgeschmissen. Ich denke mal das man bei dieser Aufgabe den Binomialkoeffizienten brauchen wird aber da bin ich dann leider auch schon raus.

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den Binomialkoeffizienten brauchen

Jawoll, damit berechnest du nämlich, auf wieviele Arten der Zustand "ein Stapel ist leer, der andere enthält noch j Teller" erreicht werden kann.

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Grundsätzlich brauchen wir den Binomialkoeffizienten noch nicht, wenn wir n = 1, 2 oder 3 betrachten.

Zu Anfang sollte man auch nicht in Formeln denken, wenn man an ein Problem rangeht. Das ist zumindest meine Erfahrung.

Aber klar für ein allgemeines n brauchst du zur Vereinfachung den Binomialkoeffizienten.

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Na dann hoffe ich mal, dass dieser Kommentar einen Beitrag zu Klärung des Problems, das sich im Also um ehrlich zu sein leider nicht... des Fragestellers auf deine Antwort offenbart hat, leistet.

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Also: ich habe mich ein wenig über die Bernoulli kette erkundigt, wurde daraus aber nicht wirklich schlauer :(

Die Bernoulli kette berechnet die Wkeit für P(x=k) also für genau k Treffer. ich muss das dann in meine Aufgabe übersetzen, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beispielsweise 1 Teller übrig habe bei insgesamt 5 Tellern auf jedem Stapel, mit k=9 zu berechnen? Ich bin davon ausgegangen, dass ich 9 Treffer brauche, da von den 10 Tellern ja nur einer übrig bleiben soll. ich hab aber das Gefühl das stimmt nicht ganz, da ich nicht beachtet hab dass der Koch ja 4 mal zu Stapel 1 geht und 6 mal zu Stapel 2 (um beim 6. mal zu berichten, dass der Stapel leer ist)

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf dem anderen Stapel n Teller übrig sind scheint Trivial. da hab ich ja \( \frac{1}{2} \) \( ^{n+1} \)

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ich meinte natürlich \( \frac{1}{2^n} \) da es egal ist um welchen stapel es geht müsste man noch mal 2 rechnen und ein ^n würde sich wegstreichen

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Jetzt bist du ziemlich dicht dran (wahrscheinlich weil du nicht versucht hast, alle möglichen Fälle für n=3 z.B. mithilfe eines Baumdiagramms einzeln zu berechnen).

Von der angesprochenen Bernoulli-Kette benötigst du hier nur den Binomial-Koeffizienten (ich vermeide hier mal die Buchstaben n und j) : Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit m Elementen eine Menge mit k Elementen auszuwählen, beträgt (m über k). Du hast ja völlig richtig erkannt, dass bei n=5 und j=1 der Koch 2*5-1 = 9 Teller ordern muss und von den 9 Gängen müssen 5 zu dem einen Stapel führen, von den 9 Anweisungen müssen 5 zu eben diesem Stapel führen, also gibt der Koch eine Anweisungskette der Form L L R L R R R L L , bei der aus einer Menge von 9 Anweisungen eine Menge von 5 Platzierungen ausgewählt wird, an denen der linke Stapel aufzusuchen ist.

Dein Nenner muss nun allerdings 2^9 (und nicht 2^5) sein, denn so viele mögliche Folgen mit Links-Rechts-Anweisungen der Länge 9 gibt es ja.

Jetzt berechnest du den Zähler (9 über 5) = 9! / (5!*4!) = 126 und den Nenner 2^9 = 512 und erhältst die gesuchte Wahrscheinlichkeit p = 126/512 = 63/256 .

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Also ich hab das mal weitergesponnen und ein wenig getestet. Mein Ergebnis wäre jetzt:

(2n-j über n)/ 2^(2n-j)

Mir scheint das jetzt sinnvoll aber kann man das irgendwie prüfen?

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Da du ja nicht wirklich gesponnen hast, kannst du dein Ergebnis als das ansehen, was es ist : korrekt.

Eine erste Testmöglichkeit ist immer zu prüfen, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt : https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+for+j%3D0+to+n+%28binom%282*n-j%2Cn%29%2F2%5E%282*n-j%29%29

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Ich danke dir vielmals. Werd ich aufjedenfall gleich Testen

Danke:)