Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Du hast eine mögliche Faktorisierung schon selbst angegeben:$$x^4+1=(x^4\pink{+2x^2}+1)\pink{-2x^2}=\underbrace{(x^2+1)^2}_{=a^2}-\underbrace{(\sqrt2x)^2}_{=b^2}$$Mit der dritten binomischen Formel führt das dann auf:$$x^4+1=(\underbrace{x^2+1}_{=a}+\underbrace{\sqrt2x}_{=b})\cdot(\underbrace{x^2+1}_{=a}-\underbrace{\sqrt2x}_{=b})$$
Damit könntest du nun eine Partialbruchzerlegung vornehmen.
Zur Berechnung des Integrals würde ich jedoch in andere Teilbrüche zerlegen.$$\frac{1}{x^4+1}=\frac{2}{2(x^4+1)}=\frac{(x^2+1)-(x^2-1)}{2(x^4+1)}=\frac{x^2+1}{2(x^4+1)}-\frac{x^2-1}{2(x^4+1)}$$$$\phantom{\frac{1}{x^4+1}}=\frac{\pink{\frac{1}{x^2}}(x^2+1)}{2\pink{\frac{1}{x^2}}(x^4+1)}-\frac{\pink{\frac{1}{x^2}}(x^2-1)}{2\pink{\frac{1}{x^2}}(x^4+1)}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}$$$$\phantom{\frac{1}{x^4+1}}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{2\left[\left(x-\frac1x\right)^2+2\right]}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\left[\left(x+\frac1x\right)^2-2\right]}$$
Nun sind die Zähler die Ableitungen der runden Klammern, sodass du das Integral in zwei Integrale aufspalten kannst, in denen du jeweils die runde Klammer substituierst.$$I\coloneqq\int\frac{1}{x^4+1}dx=\frac12\underbrace{\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\left(x-\frac1x\right)^2+2}dx}_{\text{Substituiere: }u\coloneqq x-\frac1x}-\frac12\underbrace{\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac1x\right)^2-2}dx}_{\text{Substituiere: }v\coloneqq x+\frac1x}$$
Durch diese Substitutionen fallen die Zähler weg:$$\small\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{x^2}\implies du=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx\quad;\quad \frac{dv}{dx}=1-\frac{1}{x^2}\implies dv=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx$$und das Integral vereinfacht sich zu$$I=\frac12\int\frac{1}{u^2+2}\,du-\frac12\int\frac{1}{v^2-2}\,dv$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\int\frac{\sqrt2}{2+u^2}\,du-\frac1{4\sqrt2}\int\frac{2\sqrt2}{(v-\sqrt2)(v+\sqrt2)}dv$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\int\frac{\sqrt2}{2+u^2}\,du-\frac1{4\sqrt2}\int\frac{(v+\sqrt2)-(v-\sqrt2)}{(v-\sqrt2)(v+\sqrt2)}dv$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\int\frac{\sqrt2}{2+u^2}\,du-\frac1{4\sqrt2}\int\left(\frac{1}{v-\sqrt2}-\frac{1}{v+\sqrt2}\right)dv$$
Das sind nun alles Standard-Integrale:$$I=\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt2}\right)-\frac{1}{4\sqrt2}\ln|v-\sqrt2|+\frac{1}{4\sqrt2}\ln|v+\sqrt2|+C$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt2}\right)+\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{v+\sqrt2}{v-\sqrt2}\right|+C$$
Rücksubstitution liefert schließlich:$$\int\frac{1}{x^4+1}\,dx=\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{x^2-1}{\sqrt2\,x}\right)+\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{x^2+1+\sqrt2\,x}{x^2+1-\sqrt2\,x}\right|+C$$
