Partialbruchzerlegung von 1/(x4 + 1)

Question

Aufgabe:Die aufgabe soll mit der partialbruchzerlegung gelöst werden. 1/(x⁴+1)

Problem/Ansatz: Mein problem ist das ich nicht verstehe, wie ich das polynom im nenner faktorisieren soll, um mit der partialbruchzerlegung zu bignnen. Ein Ansatz ist das man x⁴+1 = x⁴+2x²+1-2x² schreiben kann.

Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Partialbruchzerlegung berechnen? mit 1/(x⁴+1)?

Stichworte: partialbruchzerlegung,integralrechnung,unbestimmtes-integral,integral

Partialbruchzerlegung

Wie berechne ich diesen integral mit diesen partialbruchzerlegung?

$\int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx$

Weil ich habe schon versucht es ohne partialbruchzerlegung zu machen, wobei ich da auch schon Schwierigkeiten hatte. Aber es war noch machtbar. Allerdings weiß ich nicht wie ich es mit der partialbruchzerlegung machen soll. Also klar ich weiß das ich ich 4 brüche (A,B,C,D) bilden muss. Dahin zu kommen fällt mir noch schwer.

Kann wer helfen?

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https://www.integralrechner.de/

Der Nenner lässt sich faktorisieren

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Auf diese Faktorisierung kommt auch nicht jeder. Ohne Erfahrung schwierig.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du hast eine mögliche Faktorisierung schon selbst angegeben:$$x^4+1=(x^4\pink{+2x^2}+1)\pink{-2x^2}=\underbrace{(x^2+1)^2}_{=a^2}-\underbrace{(\sqrt2x)^2}_{=b^2}$$Mit der dritten binomischen Formel führt das dann auf:$$x^4+1=(\underbrace{x^2+1}_{=a}+\underbrace{\sqrt2x}_{=b})\cdot(\underbrace{x^2+1}_{=a}-\underbrace{\sqrt2x}_{=b})$$

Damit könntest du nun eine Partialbruchzerlegung vornehmen.

Zur Berechnung des Integrals würde ich jedoch in andere Teilbrüche zerlegen.$$\frac{1}{x^4+1}=\frac{2}{2(x^4+1)}=\frac{(x^2+1)-(x^2-1)}{2(x^4+1)}=\frac{x^2+1}{2(x^4+1)}-\frac{x^2-1}{2(x^4+1)}$$$$\phantom{\frac{1}{x^4+1}}=\frac{\pink{\frac{1}{x^2}}(x^2+1)}{2\pink{\frac{1}{x^2}}(x^4+1)}-\frac{\pink{\frac{1}{x^2}}(x^2-1)}{2\pink{\frac{1}{x^2}}(x^4+1)}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}$$$$\phantom{\frac{1}{x^4+1}}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{2\left[\left(x-\frac1x\right)^2+2\right]}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\left[\left(x+\frac1x\right)^2-2\right]}$$

Nun sind die Zähler die Ableitungen der runden Klammern, sodass du das Integral in zwei Integrale aufspalten kannst, in denen du jeweils die runde Klammer substituierst.$$I\coloneqq\int\frac{1}{x^4+1}dx=\frac12\underbrace{\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\left(x-\frac1x\right)^2+2}dx}_{\text{Substituiere: }u\coloneqq x-\frac1x}-\frac12\underbrace{\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac1x\right)^2-2}dx}_{\text{Substituiere: }v\coloneqq x+\frac1x}$$

Durch diese Substitutionen fallen die Zähler weg:$$\small\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{x^2}\implies du=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx\quad;\quad \frac{dv}{dx}=1-\frac{1}{x^2}\implies dv=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx$$und das Integral vereinfacht sich zu$$I=\frac12\int\frac{1}{u^2+2}\,du-\frac12\int\frac{1}{v^2-2}\,dv$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\int\frac{\sqrt2}{2+u^2}\,du-\frac1{4\sqrt2}\int\frac{2\sqrt2}{(v-\sqrt2)(v+\sqrt2)}dv$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\int\frac{\sqrt2}{2+u^2}\,du-\frac1{4\sqrt2}\int\frac{(v+\sqrt2)-(v-\sqrt2)}{(v-\sqrt2)(v+\sqrt2)}dv$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\int\frac{\sqrt2}{2+u^2}\,du-\frac1{4\sqrt2}\int\left(\frac{1}{v-\sqrt2}-\frac{1}{v+\sqrt2}\right)dv$$

Das sind nun alles Standard-Integrale:$$I=\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt2}\right)-\frac{1}{4\sqrt2}\ln|v-\sqrt2|+\frac{1}{4\sqrt2}\ln|v+\sqrt2|+C$$$$\phantom I=\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt2}\right)+\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{v+\sqrt2}{v-\sqrt2}\right|+C$$

Rücksubstitution liefert schließlich:$$\int\frac{1}{x^4+1}\,dx=\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\left(\frac{x^2-1}{\sqrt2\,x}\right)+\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{x^2+1+\sqrt2\,x}{x^2+1-\sqrt2\,x}\right|+C$$

Comments

Die Methode hat meines Erachtens den Haken, dass die Lösung nur für $x\ne0$ gilt.

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Tschaka, du bist mal wieder Wahnsinn. Unglaublich!

Genauso wie die Pharoin, die das mal so locker raushaut.

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Wenn es erstmal nur um das Problem der Faktorisierung geht, verstehe ich nicht, wieso man gleich die komplette Aufgabe lösen muss. So unglaublich finde ich das also nicht.

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Apfelmännchen, du kannst dich noch so oft darüber auslassen, wie ich meine Lösungen formuliere. Es wird nichts ändern ;)

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@Tschaka:

Von AM wirst du nie ein Lob hören, aber Kritik bei jeder kleinsten Gelegenheit.

Ich finde deine Lösungen immer toll und optisch sehr ansprechend, für jeden anderen mustergültig. Du machst du dir sehr viel Mühe.

Fac ab isto deterreri non sinere pergas ! Maneo tuas solutiones pulchras proximas summo cum gaudio. :)

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@ggtT22:

Vielen Dank für deinen Zuspruch... \o/

Es stört mich nicht, wenn AM meine Art zu antworten nicht gut findet.

Es ist ja sein Problem, nicht meins.

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Es ist übrigens auch nicht gesagt, dass es um eine Stammfunktion geht. Es gibt auch andere Anwendungen der PBZ. Das hätte man ja erfragen können, wenn man sich mit dem Anliegen des FS auseinandersetzen möchte.

Answer 2

Alternativ betrachte der Übersichtlichkeit halber zunächst die Zerlegung$$x^4+4=\big(x^2+2x+2\big){\cdot}\big(x^2-2x+2\big),$$und die daraus resultierende Partialbruchzerlegung$$\frac8{x^4+4}=\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{x-2}{x^2-2x+2}.$$Multipliziere mit $2$ und sortiere wie folgt um:$$\frac{16}{x^4+4}=\frac{2x+2}{x^2+2x+2}+\frac2{x^2+2x+2}-\frac{2x-2}{x^2-2x+2}+\frac2{x^2-2x+2}.$$Nun integriere:$$\int\frac{16}{x^4+4}\,\mathrm dx=\log\!\big(x^2+2x+2\big)+2\arctan\!\big(x+1\big)-\log\!\big(x^2-2x+2\big)+2\arctan\!\big(x-1\big)+C.$$Schließlich braucht es noch eine einfache Substitution zur Lösung des ursprünglichen Integrals.

Comments

Wieso denn $\frac{1}{x^4+\pink4}$ ?