Prüfen Sie die Spalten nach linearer Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

5) a) Sei \( A:=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \). Prüfen Sie, ob die Spalten von \( A \) linear unabhängig sind, und bestimmen Sie \( \operatorname{rang}(A) \).

b) Sei \( B:=\left(\begin{array}{ccc}1 & i & 0 \\ 0 & 2+i & i \\ -1 & 0 & 1+i\end{array}\right) \). Berechnen Sie \( A \cdot B \).

c) Berechnen Sie das euklidische Skalarprodukt der Vektoren \( x=(1,2,3) \) und \( y=(-1,-4,3) \) im \( \mathbb{R}^{3} \).

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe a hab ich versucht, allerdings  ist das bei der Aufgabe 4 eine 4x4 Matrix und ich weiß nicht wie ich das dann zusammen rechnen kann.

Und die b) weiß ich leider auch nicht, könnte mir jemand sagen welchen mathematischen überbegriff A*B hat? Weil in meiner Vorlesung hab ich leider nichts gefunden

Answer 1

Hallo

was hat die lineare Unabhängigkeit der Matrix in 5) mit eine 4 mal 4 Matrix in einer anderen Aufgabe zu tun? einfach bestommen ob die 3 Spaltenvektoren linear unabh. sind.

wenn sie es sind ist der Rang 3

A*B ist das Produkt der 2 Matrizen! Wie man das bildet hattet ihr sicher, sonst suchs im Netz. Zum Überprüfen gibt es im Netzt Matrix Rechner.

Das Skalarprodukt c) solltest du sogar noch aus der Schule kennen?

Gruß lul

Answer 2

a)

Unabhängigkeit über Determinante prüfen.

DET(A) = 18 → Die Spalten sind linear unabhängig. Die Matrix hat den Rang 3

b)

Matritzenmultiplikation

\( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & i & 0 \\ 0 & 2+i & i \\ -1 & 0 & 1+i\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2 & 4+3 i & 3+5 i \\ 1 & 2+4 i & 2+3 i \\ 1 & 6+5 i & 1+4 i\end{array}\right) \)

c)

Skalarprodukt von Vektoren

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\-4\\3 \end{pmatrix} = -1 - 8 + 9 = 0 \)