Seien \(n\in \mathbb{N},z\in \mathbb{Z}\). Dann ist einerseits
\(\begin{aligned} & h\left(\left[z\right]\right)\\ = & h\left(\left[\sum_{i=1}^{n}\frac{z}{n}\right]\right)\\ = & h\left(\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{z}{n}\right]\right)\\ = & \sum_{i=1}^{n}h\left(\left[\frac{z}{n}\right]\right) \end{aligned}\)
laut Rechenregeln in \(\mathbb{Q}\) und in \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) und laut Definition Gruppenhomomorphismus. Andererseits ist
\(\displaystyle h\left(\left[z\right]\right) = h\left(\left[0\right]\right) = 0\)
wegen \([z] = [0]\).
Es gilt also
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}h\left(\left[\frac{z}{n}\right]\right) = 0\)
und somit
\(n\cdot h\left(\left[\frac{z}{n}\right]\right) = 0\).
Da \(\left(\mathbb{Z},+,\cdot\right)\) als Unterring des Körpers \(\left(\mathbb{Q},+,\cdot\right)\) nullteilerfrei ist, folgt
\(h\left(\left[\frac{z}{n}\right]\right) = 0\).
