surjektiv und injektiv bei einem Gleichungssystem nachweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( A \) eine reelle \( m \times n \)-Matrix und \( F_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) die dazugehörige lineare Abbildung.
Beweisen Sie folgende Aussagen:
1. \( F_{A} \) ist injektiv genau dann, wenn das Gleichungssystem \( A \mathbf{x}=\mathbf{b} \) für jedes \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} \) höchstens eine Lösung besitzt.
2. \( F_{A} \) ist surjektiv genau dann, wenn das Gleichungssystem \( A \mathbf{x}=\mathbf{b} \) für jedes \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} \) mindestens eine Lösung besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe schon mal denn Sinn, wieso dass eine surjektiv und das andere injektiv ist. Kann mir jemand helfen das nun mathematisch zu beweisen?

Answer 1

Injektiv bedeutet, aus \(f(x)=f(y)\) folgt \(x=y\). Also folgt aus \(Ax=b=Ay\) ebenfalls \(x=y\) und damit nicht mehr als eine Lösung des LGS.

Surjektiv bedeutet, dass es zu jedem \(y\) ein \(x\) geben muss, mit \(f(x)=y\). Deswegen muss für \(Ax=b\) eben jenes \(x\) existieren, was nur geht, wenn das LGS mindestens eine Lösung hat.

Wie man das nun mathematisch formal sauber aufschreibt, überlasse ich dir. Kannst es hier aber gerne mitteilen.

Comments

Text erkannt:

sufgabe 3
3: hjechtir: Aus \( f(x)=f(y) \) folgf \( x=y \)
Damit fold aus \( A x=b= \) Ay etemplls \( x=y \)
\( \Leftrightarrow z: A x \rightarrow b \) besith mun ine doing
Es si \( x_{1} \) und \( x_{2} \) dösungen aus \( A x=b \) :
\( F_{A}\left(x_{1}\right)=F_{A}\left(x_{2}\right)=b \)
(2) Es muss getten \( x_{1}=x_{2} \), abror giffes nur line dösury
(6) Sien \( x_{1} \) und \( x_{2} \) zevei venchiedene Vehtaren in \( \mathbb{R}^{h} \) mit \( F_{A}\left(x_{1}\right)=E_{A}\left(x_{2}\right) \) is \( A x_{1}=A x_{2}=A x \)
(C) \( f_{t} \) ist injehtic

das für aufgabe 3 a)?

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Bei der Rückrichtung musst du doch annehmen, dass es höchstens eine Lösung gibt. Das passt bei dir also nicht.