Binomialverteilung oder Hypergeometrische Verteilung?

Question

Ein Unternehmen entnimmt täglich vierzig Endprodukte aus dem laufenden
Produktionsprozess und überprüft deren Qualität. Erfahrungsgemäß beträgt die
Ausschussrate 2%.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich unter den vierzig getesteten Endprodukten
maximal ein defektes Endprodukt befindet?
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich unter den vierzig getesteten Endprodukten
maximal vier und mindestens zwei defekte Endprodukte befinden?
c) Wie hoch ist die erwartete Anzahl defekter Produktionsstücke, wie groß ihre Varianz
und ihre Standardabweichung?

Wie erkannt man anhand dieser Aufgabe, ob es hier  Ziehen mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen bzw. Binomialverteilung oder Hypergeometrische Verteilung geht?

Answer 1

Legst du bereits getestete Produkte wieder zurück? Das wäre eine schlechte Qualitätskontrolle. In den allermeisten Fällen liefern aber beide Varianten eine ähnliche Wahrscheinlichkeit, abhängig von der Trefferwahrscheinlichkeit und der Stichprobengröße. Ich gehe davon aus, dass die Aufgabe eher im Zusammenhang mit der Binomialverteilung gestellt ist, da die andere Verteilung meines Wissens auf den meisten Schulen gar nicht behandelt wird.

Da hier eine feste Ausschussrate von 2 % vorgegeben ist, sind die Wahrscheinlichkeiten konstant, weshalb die Voraussetzungen für die Binomialverteilung erfüllt sind.

Comments

Das ist eine Antwort, die sich selbst widerspricht.

Ohne Zurücklegen spricht eher für hypergeometrische Verteilung.

Die Binomialverteilung wird trotzdem genommen, weil erstens

- die Produktionsmenge des Tages nicht gegeben ist, wir aber

zweitens

- von einer sehr großen Stückzahl ausgehen können.

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Hab es schon angepasst. Auch die feste Ausschussrate spricht dafür.

Answer 2

Wie erkannt man anhand dieser Aufgabe, ob es hier Ziehen mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen (...) geht?

Bei derartigen Aufgaben mit Stichproben geht es (eigentlich) immer(!) um "Ziehen mit Zurücklegen", etwas anderes wäre sehr ungewöhnlich.

(...) bzw. Binomialverteilung oder Hypergeometrische Verteilung geht?

Interessanterweise geht es dabei meistens um die Binomialverteilung, obwohl die eigentlich gar nicht zuständig ist. Immerhin sind, unter den zu unterstellenden Umstände, die Unterschiede im Ergebnis nur dehr gering, im Aufwand im Vergleich zur Hypergeometrischen Verteilung aber sehr erheblich.

Comments

Die hypergeometrische Verteilung käme höchstens dann infrage, wenn in jeder einzelnen Tagesproduktion (deren Stückzahl darüberhinaus bekannt sein müsste) die Ausschussquote genau 2% betragen würde.

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@hj: Okay, das stimmt.

Answer 3

Wichtig ist du ziehst hier aus einer unendlich großen Produktionsmenge. Jedes einzelne Teil ist zu 2% Ausschuss. Damit wird das über eine Binomialverteilung modelliert.

Für eine Hypergeometrische Verteilung bräuchtest du eine Menge aus der du ziehst und müsstest wissen wie viele Ausschussteile exakt darunter sind.

Also du hast eine Tagesproduktion von 100 Endgeräten und darunter befinden sich exakt 3 Ausschussgeräte.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich unter den vierzig getesteten Endprodukten maximal ein defektes Endprodukt befindet?

P(X ≤ 1) = ∑ (x = 0 bis 1) ((40 über x)·0.02^x·0.98^(40 - x)) = 0.8095

b) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich unter den vierzig getesteten Endprodukten maximal vier und mindestens zwei defekte Endprodukte befinden?

P(2 ≤ X ≤ 4) = ∑ (x = 2 bis 4) ((40 über x)·0.02^x·0.98^(40 - x)) = 0.1893

c) Wie hoch ist die erwartete Anzahl defekter Produktionsstücke, wie groß ihre Varianz und ihre Standardabweichung?

E(X) = 40·0.02 = 0.8
V(X) = 40·0.02·0.98 = 0.784
σ(X) = √0.784 = 0.8854

Answer 4

Erfahrungsgemäß beträgt die
Ausschussrate 2%.

Es geht um große Grundgesamtheiten (Massenproduktion). Ob Produkt mehr oder weniger fällt nicht ins Gewicht bei der Entnahme.

Es macht gewissermaßen keinen Unterschied, ob man zurücklegt oder nicht. Als Faustregel nimmt man n/N ≤0.05 für diese Annäherung der beiden Verteilungen.

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!853:Binomialverteilung

Bei der hypergeometr. Verteilung wird immer die genaue Stückzahl der Gesamtheit und der defekten Teile genannt,

allgemein: der Problemfälle/Abweichler/Besonderheiten o.ä.

Bekanntes Beispiel: Lotto 6 aus 49, die Gewinnzahlen sind die "Besonderen".