untersuchen ob eine menge offen/abgeschlossen/kompakt is

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob folgende Mengen offen/abgeschlossen/kompakt in R2 sind. Begründen Sie Ihre
Aussagen genau:

a) {(x, y) ∈ R² | x² − y² ≤ −1}

Problem/Ansatz:

Ich würde es gerne mit dem Folgenkriterium beweisen.... habe aber leider keine Ahnung wie das funktioniert

kann mir jemand weiterhelfen?

lg

Comments

Es ist nach 3 Eigenschaften gefragt. Welche meinst Du mit "es"? Welche Eigenschaft mit welchem Folgenkriterium?

Answer 1

Hallo,

das Folgenkriterium bietet sich in solchen Beispielen meist eher zur Widerlegung an, da z. B., um zu zeigen, dass \(\mathbb{Q}\) nicht abgeschlossen ist, nur eine Folge aus \(\mathbb{Q}\) angegeben werden müsste, deren Grenzwert nicht in \(\mathbb{Q}\) liegt (Stichwort: Euler'sche Zahl). Um positiv etwas zu zeigen, muss man etwas "für alle Folgen" zeigen, was nicht immer klar ist.

In diesem Fall ist es einfacher, auf Permanenzeigenschaften stetiger Funktionen zurückzugreifen. Z. B., dass das Urbild offener/abgeschlossener Mengen dann wieder offen/abgeschlossen ist. Voraussetzung dafür ist schon mal geschaffen, da \(f(x,y)=x^2-y^2\) stetig ist. Meinst du denn, dass die Menge offen oder abgeschlossen ist? Du kannst die Menge auch z. B. mit WolframAlpha plotten, siehe hier.

Bei der Kompaktheit kannst du im \(\mathbb{R}^2\) gut auf den Satz von Heine-Borel zurückgreifen, nach dem Kompaktheit äquivalent zur Beschränktheit und Abgeschlossenheit ist.