Eine Polynomeigenschaft allgemein

Question

Hi. Ich habe mal eine Frage, für einen Beweis.

Ist jedes Polynom f, mit deg(f) ungerade (ungerader Grad) surjektiv? Mir ist nämlich aufgefallen, das ungerade Polynome ja erstens immer stetig sind und zweitens dann auch für x -> + unendlich bzw. -unendlich auch nach plus bzw. minus unendlich divergieren, da ja der Summand x^(2n+1) für kleiner werdende x nach minus und für grösser werdende x nach plus unendlich geht.

Answer 1

Das folgt logischerweise aus dem Zwischenwertsatz, klar. Allerdings hängt das auch immer vom Definitionsbereich ab. Wenn du also \(f:[0;1]\rightarrow \mathbb{R},\, x\mapsto x^3\) definierst, dann wird sicherlich nicht jeder Wert in \mathbb{R}\) getroffen. Damit wäre \(f\) nicht surjektiv. Ist \(f\) aber auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert, dann wird auch jeder Wert in \(\mathbb{R}\) angenommen.

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Dankeschön für die Antwort!