Aber wie beweise ich das allgemein?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für beliebige natürliche Zahlen a,b stets gilt:
ggT(a/(ggT(a,b)) , b/(ggT(a,b))) = 1

Problem/Ansatz:

Also ich habe das für ein paar Zahlen durchprobiert, um mir erst einen Überblick zu verschaffen und wer hätte es gedacht, für ausgewählt Zahlen a,b ist die Aussage wahr.
Aber wie beweise ich das allgemein? Irgendwie ist es ja logisch, dass es so sein wird und so selbstverständlich aber ich weiß nicht wie man das mathematisch am besten verschriftlicht.
Kann mir jemand helfen?

ggT(a, b) ist ja erstmal das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren von a und b und wenn ich a oder b jetzt durch den ggT teile, dann "entferne" ich sozusagen diese Primfaktoren und dann bleiben nur Primfaktoren übrig, die alle tellerfremd sind und der einzige und zugleich größe gemeinsame Teiler ist 1.

Aber wie schreibe ich das am besten mit Symbolen und so?

Comments

Hallo Peter Fischer 99!

:-)

Answer 1

Im Falle ggT(a,b) = d gibt es n,m € N mit a = d*n und b = d*m.

Daraus folgt ggT(a,b) = ggT(d*n,d*m) = d*ggT(n,m).

Wegen ggT(a,b) = d folgt ggT(n,m) = 1, somit sind n,m teilerfremd.

Folglich:

ggT( a/ggT(a,b), b/ggT(a,b) ) = ggT( a/d, b/d ) = ggT(n, m) = 1