Basis von Vektoren bestimmen

Question

a1:=

1

1

0

2

a2:=

0

2

1

-1

a3:=

2

0

-1

5

a4:=

1

-1

0

2

in R^4 seien die obenen Vektoren.

sowie der Untervektorraum U := span(a1, a2, a3, a4) vorgegeben. Bestimmen Sie eine Basis von U, welche
den Vektor a1 enthält.

hallo, ich bitte um eine ausführliche erklärung. mein übungsleiter meinte, dass wir immer versuchen einen 0 vektor zu kriegen, aber ich checke nicht warum und bin voll verwirrt. freue mich auf eure antworte, vielen lieben dank! ^^

Aufgabe:

Answer 1

1. Setze M = {a₁}.
   
2. Setze R = {a₂, a₃, a₄}.
3. Falls R ≠ ∅ ist:
   • Wähle einen Vektor a ∈ R aus.
   • Entferne a aus R.
   • Falls M ∪ {a} linear unabhängig ist, füge a zu M hinzu.
   • Gehe zurück zu 3.
4. Jetzt ist M eine Basis von U.
   

Answer 2

Aloha :)

Wir rechnen eventuell vorhandene lineare Abhängigkeiten mittels elementarer Spaltenoperationen aus den Vektoren heraus. Die Besonderheit hierbei ist, dass wir die erste Spalte nicht verändern dürfen, da ja der Vektor \(\vec a_1\) als Basisvektor auftauchen soll.

Dein Übungsleiter hat etwas recht. Letztendlich wollen wir mit diesem Verfahren Spalten erhalten, die aus lauter Nullen bestehen. Aber der Weg dahin besteht darin, so viele Zeilen wie möglich zu generieren, die aus lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null bestehen.$$\begin{array}{rrrr} & & -2S_1 & -S_1\\\hline1 & 0 & 2 & 1\\1 & 2 & 0 & -1\\0 & 1 & -1 & 0\\2 & -1 & 5 & 2\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & +S_4 & +S_2& \div(-2)\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & -2 & -2\\0 & 1 & -1 & 0\\2 & -1 & 1 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2& & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0\end{array}$$

Die Zeile 2 enthält noch 2 von Null verschiedene Werte. Normalerweise würde man daher streng nach Algorithmus noch von der ersten Spalte die vierte Spalte subtrahieren. Das lassen wir hier jedoch sein, da wir die erste Spalte gemäß Aufgabenstellung nicht ändern dürfen.