Ein Teilmenge U eines Vektorraumes V über einem Körper K heißt Untervektorraum, wenn gilt:
a) U ≠ ∅
b ) u , v ∈ U => ( u + v ) ∈ U
und
c) a ∈ K ∧ u ∈ U => a * U ∈ U
Seien nun A und B Untervektorräume von V.
Zeige, dass dann auch A ∩ B ein Untervektorraum von V ist, dass also A ∩ B die Definition eines Untervektorraumes von V erfüllt.
a) Da A und B Untervektorräume von V sind, erfüllen beide die angegebene Definition. Insbesondere sind also beide nicht leer.
Wenn sie aber nicht leer sind, dann enthalten sie in jedem Falle den Nullvektor von V.
Denn dieser ist entweder ohnehin Element beider Mengen A und B oder A und/oder B enthalten mindestens einen Vektor x ∈ V bzw. y ∈ V . Dann aber gilt, weil A und B als Untervektorräume abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation sind ( Teil c der Definition) insbesondere für a = 0 : 0 * x = 0 ∈ A bzw. 0 * y = 0 ∈ B.
Wenn also A bzw. B einen Vektor ≠ 0 enthält, dann folgt daraus, dass auch der Nullvektor von V in A bzw. B enthalten ist..
Wenn aber beide Untervektorräume A und B den Nullvektor von V enthalten, dann enthält auch A ∩ B den Nullvektor von V und dann gilt also:
A ∩ B ≠ ∅
b) u, v ∈ A ∩ B
=> u , v ∈ A ∧ u , v ∈ B
Da A und B Untervektorräume sind, sind sie abgeschlossen bzgl. der Addition (Teil b der Definition), also:
=> u + v ∈ A ∧ u + v ∈ B
=> ( u + v ) ∈ A ∩ B
c) u ∈ A ∩ B
=> u ∈ A ∧ u ∈ B
Da A und B Untervektorräume sind, sind sie abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation (Teil c der Definition), also gilt für alle a ∈ K:
=> a * u ∈ A ∧ a * u ∈ B
=> ( a * u ) ∈ A ∩ B
Der Beweis zu a) mag vielleicht noch etwas eleganter zu führen bzw. zu formulieren sein ...
