Berechnen Sie, wie hoch die Besucheranzahl nach 4 Stunden ist (Analysis)

Question

Aufgabe: Die Funktion f beschreibt die Änderungsrate der Besucherzahl t eines großen Hotels von der Zeit in den ersten 20 Stunden und kann durch die Funktionsgleichung f(t)= 10t*e^-0,25t beschrieben werden. Dabei wird t in Stunden und f(t) in 100 Besucher pro Stunde angegeben.

Die Aufgabe konkret ist:
Zu Beginn sind 40 Besucher anwesend. Berechnen Sie, wie hoch die Besucheranzahl nach 4 Stunden ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre dass man das Integral bildet von 0-4 bei der Funktion f(t)= 10*e^-0,25t+0,4.
Das wären 43,87 also 4387 Besucher.
Wäre dies richtig? oder sollte man in die Gleichung die 4 bei t einsetzen?

Weil es ist ja konkret nach der Besucherzahl gefragt und nicht die Änderungsrate der Besucherzahl.

Danke!

Comments

Falls du Probleme beim Integrieren hattest oder zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+10*e%5E%28-0.25t%29%2B0.4+from+0+to+4

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f(t)= 10t*e^-0,25t

Nein.

Sondern

f(t)= 10t*e^(-0,25t)

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Gemeint hat er/sie das Richtige. Willkommen in meinem Club der "Schlamper" oder Latex-Frustrierten!

Man kann nicht oft genug die Klammer

den Schülern einbleuen mit hartem Hammer.

Doch sie werden jene immer wieder vergessen,

denn auf die Latexerei ist keiner scharf oder versessen.

ZIeht dieser lieber vor ein gutes, leckres Essen.

Wenn Latex, dann eher auf das andre, das angewendet wird in der Liebe,

damit man verschont bleibt von unerwünschten Folgen gewisser Triebe. :)

Answer 1

Das f(t) gibt ja die Rate in 100 Besucher pro Tag.

Die 4 Stunden sind 1/6 Tag. Da würde ich nur das Integral von 0 bis 1/6 nehmen.

Comments

Entschuldige! Ich habe mich verschrieben. 100 Besucher pro Stunde sind es!
Dann würde ich ja richtig liegen, oder? Die +0,4 am ende der Funktion sind auch korrekt, weil es sind ja 40 Besucher zu Beginn, oder?

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Die +0,4 am ende der Funktion sind auch korrekt, weil es sind ja 40 Besucher zu Beginn, oder?

Nein. Sie werden nicht mitintegriert sondern der Wert des Integrals der gegebenen Funktion wird am Ende um 40 Besucher erhöht. (Ergebnis : 4268 Besucher)

Sicher, dass die Aufgabe korrekt wiedergegeben ist ?
Sie spricht zwar von der Kapazität eines großen Hotels, aber dieses hat ja fast hilbertsche Ausmaße, wenn nach 20 Stunden über 15000 Besucher drin sind.
Außerdem macht zunächst ein Vorfaktor 10 und danach die Maßeinheit 100 Besucher pro Stunde nicht wirklich viel Sinn.

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aber dieses hat ja fast hilbertsche Ausmaße, wenn nach 20 Stunden über 15000 Besucher drin sind.

Vlt. gilt f(x) nicht für den gesamten Zeitraum. (abschnittsweise definierte Fkt. ???)

Oder es geht um so eins:

Das First World Hotel ist ein Hotel in Genting Highlands, einer Hill Station in der malaysischen Provinz Pahang. Mit insgesamt 7351 Zimmern hält es aktuell (2021) den Weltrekord für das Hotel mit den meisten Zimmern. Diesen Titel hatte es bereits bei der Eröffnung 2006 inne, als es noch 6118 Zimmer hatte.

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_gr%C3%B6%C3%9Ften_Hotels

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Ich habe keine Ahnung um welches Hotel es sich hier konkret handelt. Die Aufgabe war Bestandteil einer Prüfungssimulation welche vom Lehrer selbst gestellt wurde.

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Matheaufgaben sind oft realitätsfern.

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Das ist sicher Hilberts Hotel.

Und nach den ersten 4 Stunden ist das Hotel gerade mal zu 0% gefüllt :)

Answer 2

Korrigiert

f(t) = 10·t·e^(- 0.25·t)

F(t) = e^(- 0.25·t)·(- 40·t - 160)

∫ (0 bis 4) f(t) dt = F(4) - F(0) = (- 320/e) - (-160) = 42.28

Nach 4 Stunden hat man also 4228 + 40 = 4268 Besucher

Comments

~plot~ 10x*e^(-0.25x);160.4-e^(-0.25x)*(40x+160);[[0|24|0|160]] ~plot~

Hier habe ich die Funktion F(t) benutzt, die die Anzahl der Besucher (in 100 Besucher) nach x Stunden angibt.

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Wo ist da denn das 2te "t"? Die Formel lautet ja: f(t)= 10t*e^(-0,25t). Die 0,4 habe ich an der Stelle für die 40 Besucher zu beginn eingefügt. Die sind in der Grundfunktion nicht enthalten. Diese wären ja bei deiner Rechnung doppelt.

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Ich konnte deine Lösung nicht ganz nachvollziehen.

Wenn man eine falsche Funktion benutzt, ist ja auch klar, dass es falsches herauskommt.

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Ich, also der Fragesteller, hat bereits deinen Antwort kommentiert.

Wo ist da denn das 2te "t"? Die Formel lautet ja: f(t)= 10t*e^(-0,25t). Die 0,4 habe ich an der Stelle für die 40 Besucher zu beginn eingefügt. Die sind in der Grundfunktion nicht enthalten. Diese wären ja bei deiner Rechnung doppelt. :) 

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Sorry. Ich habe da wohl die falsche Funktion mit Copy und Paste übernommen. Jetzt sollte das stimmen.

Dabei wird t in Stunden und f(t) in 100 Besucher pro Stunde angegeben.

Ich würde eher vermuten, die Funktion gibt die Änderungsrate in Personen pro Stunde an. Ansonsten wäre das etwas viel für ein Hotel.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_gr%C3%B6%C3%9Ften_Hotels#Hotels_mit_den_meisten_Zimmern

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@AM:

Den Link habe ich 10 Stunden vor dir schon gepostet.

Erkennntiszugewinn = 0, um in deiner Terminologie zu bleiben.