Gegeben ist die Kurve x^3 + y^3 - 6xy = 0. Ermittle die Steigung der Tangente im Schnittpunkt mit der 1. Mediane.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurve \(x^3 + y^3 - 6xy = 0\). Ermittle die Steigung der Tangente im Schnittpunkt mit der 1. Mediane.

Problem/Ansatz:

Ich habe die 1. Mediane ausgerechnet, indem ich y=x gesetzt habe. Löse ich das Gleichungssystem, bekomme ich y'(0) = 0 und y'(2) = 2. Im Lösungsbuch steht aber y'(0) = 0 und y'(3) = 3?

Implizites Differenzieren: y' = (2y - (x^2)) / ((y^2) - 2x).

y = x

Gleichung lösen: (-2x^2) + 4x = 0

x1: 0

x2: 2

Comments

Wie ist das zu verstehen: \((x^3) + (y^3) -6x > y = 0\)

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Entschuldigen Sie, gemeint ist:
(x^3) + (y^3) -6x * y = 0

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Sicher, dass im Lösungsbuch y'(3) = 3 steht und nicht etwa y'(3) = -1 ?
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E3%2By%5E3-6xy%3D0%2C+y%3Dx%2C+y%3D6-x%2C+y%3D0

Answer 1

\(x^3 + y^3 -6x \cdot y = 0\)          \(y=x\):

\(x^3 + x^3 -6x^2 = 0\)

\(x^3 -3x^2 = 0\)

\(x_1=0\)  \(y_1=0\)

\(x_2=3\)  \(y_2=3\)

\(f(x,y)=x^3 + y^3 -6x \cdot y \)

\(f_x(x,y)=3x^2  -6 y \)

\(f_y(x,y)= 3y^2 -6x \)

\(f'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}=-\frac{3x^2  -6 y}{3y^2 -6x }\)

\(f'(0)=-\frac{3x^2  -6 y}{3y^2 -6x }\) ?????

\(f'(3)=-\frac{27  -18}{27 -18 }=-1\)

Answer 2

Hallo

die Gerade y=x schneidet bei (3,3) die Steigung dort ist -1 auch ohne Rechnung, denn die Mediane ist ja Symmetrielinie der Kurve, deshalb steht die Tangente senkrecht, Hast du dich verlesen und y(3)=3?

lul