Ich habe bereits a und b erfolgreich gelößt, doch wie funktionieren c und d?

Question

Aufgabe:

Bilde die n-te Ableitung von f

Bilden Sie die n-te Ableitung von f.
a) f(x) = 2^x
c) f(x) = 2^kx + x^n
b) f(x) = b^x
d) f(x) = (3- 2x)^n

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits a und b erfolgreich gelößt, doch wie funktionieren c und d?

Bei c habe ich das 2^kx bereits zu (Ln(2)^n)*2^kx*n*k verallgemeinert. Stimmt das so? Wie sieht es mit dem Rest aus?

Answer 1

b)

f(x) = b^x

f '(x) = b^x*ln(b)

f ''(x) = ln^2(b)*b^n

f '''(x) = ln^3*b^x

usw.

f ^n = ln^n*b^x

d)

f(x) = (3-2x)^n

f '(x) = n*(3-2x)^(n-1)*(-2)

f ''(x) = n*(n-1)*(3-2x)^(n-2)*(-2)^2

...

f^n = n!*(3-2x)^(n-1)*(-2)^n

c) f(x) = 2^(kx)+x^n = (2^k)^x +x^n

f '(x) = 2^(kx)*ln(2^k) + n*x^(n-1)

f ''(x) = 2^(kx)*ln^2(2^k)

f^n = 2^(kx)*ln^n(2k)

Comments

b): ist immerhin richtig gemeint, aber teilweise falsch geschrieben. War aber vom FS gar nicht gefragt.

d) \(f^{(n)}\) ist falsch.

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Danke, ich habe b mit c verwechselt, Reihenfolge nicht beachtet.

Der Fehler bei d liegt im Exponenten von (3-2x), oder

Auch dich bitte ich Fehler richtigzustellen und zu erklären.

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Wie wäre es richtig?

Answer 2

c) kannst Du wie b) machen, einfach \(b:=2^k\) setzen. Statt \(n\cdot k\) solltest Du aber den Faktor \(k^n\) bekommen. Für \(x^n\) schreibe die ersten Ableitungen mal auf und erkenne das Muster. Kann man nicht als einfache Formel schreiben, verwende ... bei mehreren Faktoren. Außerdem ist eine Fallunterscheidung für \(n\) nötig.

d) Beachte den Hinweis für den zweiten Term in c).