Man berechne mit Hilfe linearer/quadratischer Approximation √1.1

Question

Man berechne mit Hilfe linearer/quadratischer Approximation \( \sqrt{1.1} \)

Der Entwicklungspunkt ist geeignet zu wählen. Dies istdahingehend zu verstehen, dass man Funktions- undAbleitungswert am Entwicklungspunkt einfach (am besten im Kopf) berechnen kann.Man vergleiche mit dem exakten Wert. Unter Verwendung des Resultates ist \( \sqrt{110} \).

Answer 1

f(x) = √x = x^0.5

f'(x) = 0.5*x^{-0.5} = 1/(2·√x)

f''(x) = -0.25*x^{-1.5} = - 1/(4·(√x)^3)

T(x) = f(1)/0!·(x - 1)^0 + f'(1)/1!·(x - 1)^1 + f''(1)/2!·(x - 1)^2 = - (x^2 - 6·x - 3)/8

T(1.1) = - (1.1^2 - 6·1.1 - 3)/8 = 839/800 = 1.04875

Exakt √1.1 = 1.048808848

√110 = √(100·1.1) = 10·√1.1