Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der "hypergeometrischen Verteilung" berechnen, mit der auch die Wahrscheinlichkeiten für k Richtige beim "Lotto 6 aus 49" berechnet werden kann.
Die hypergeometrische Verteilung h sieht so aus:
$$h(k|N,M,n)=\frac { \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N-M \\ n-k \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} }$$
Dabei ist
N : Die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit.
Beim "Lotto 6 aus 49" ist N = 49.
In deinem Beispiel ist im ersten Monat N = 349, im zweiten Monat N = 409 und im dritten Monat N = 357
M : Die Anzahl der Elemente, die eine bestimmte Eigenschaft haben.
Beim "Lotto 6 aus 49" ist diese Eigenschaft die, gezogen zu werden, also M = 6.
In deinem Beispiel ist die Eigenschaft die, deine Lose zu sein. Im ersten Monat ist also M = 1 , im zweiten Monat M = 3 und im dritten Monat ebenfalls M = 3.
n : Die Anzahl der Elemente einer Stichprobe.
Beim "Lotto 6 aus 49" ist dies die Anzahl der Kreuze, die man auf dem Tippzettel macht, also n = 6
In deinem Beispiel ist dies die Anzahl Ziehungen, die durchgeführt werden. Im ersten Monat ist also n = 35 , im zweiten Monat n = 37 und im dritten Monat n = 38.
k : Die Anzahl der Treffer.
Beim "Lotto 6 aus 49" liegt k zwischen 0 und 6, je nachdem, nach welcher Anzahl "Richtiger" man fragt.
In deinem Beispiel ist k = 1
Die Hypergeometrische Verteilung gibt nun die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich in einer Stichprobe von n der N Elemente der Grundgesamtheit k der M Elemente mit der bestimmten Eigenschaft befinden.
In deinem Beispiel gilt:
1. Monat:
$$P\left( Gewinn \right) =\frac { \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 349-1 \\ 35-1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 349 \\ 35 \end{pmatrix} } =\frac { \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 348 \\ 34 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 349 \\ 35 \end{pmatrix} } \approx 0,1002=10,02 Proz.$$
2. Monat:
$$P\left( Gewinn \right) =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 409-3 \\ 37-1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 409 \\ 37 \end{pmatrix} } =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 406 \\ 36 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 409 \\ 37 \end{pmatrix} } \approx 0,2256=22,56 Proz.$$
3. Monat:
$$P\left( Gewinn \right) =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 357-3 \\ 38-1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 357 \\ 38 \end{pmatrix} } =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 354 \\ 37 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 357 \\ 38 \end{pmatrix} } \approx 0,2563=25,63 Proz.$$
Die Wahrscheinlichkeit, in allen drei Monaten zu gewinnen, ist (unter der vorliegend anzunehmenden Voraussetzung der statistischen Unabhängigkeit) gleich dem Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten, also:
P ("3 mal in Folge gewinnen") ≈ 0,1002 * 0,2256 * 0,2563 ≈ 0,005793692256 = 0,58 %
