Umformung im Integral seltsam

Question

Hallo Mathefreunde!

Ich habe eine Verständnisfrage bezüglich Integralrechnung.

In meinem Vorlesungsskript steht die Umformung:

$$\int_0^{\pi/2}\sin(\frac\pi2-x)dx=\int_0^{\pi/2}\sin(x)dx$$

Jetzt bin ich irritiert, denn es gilt doch$$\sin(\frac\pi2-x)=\cos(x)$$

Der Wert des Integrals ist am Ende derselbe. Aber wie kommt meine Professorin darauf? Oder hat sie sich einfach nur vertan?

Viele Grüße

Biergratis

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gelöscht

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Answer 1

Aloha :)

Ich vermute, deine Professorin hat sich nicht vertan.

Du studierst vermutlich Physik oder Ingenier-Wissenschaften, denn in diesen praktischen Fachgebieten ist folgende Integrations-Regel oft sehr nützlich:$$\int\limits_a^bf(x)\,dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)\,dx$$

Sie wird dir sofort klar, wenn du im rechten Integral wie folgt substituierst:$$u\coloneqq a+b-x\implies du=-dx\;;\;u(a)=b\;;\;u(b)=a$$Dann geht das rechte Integral über in:$$\int\limits_a^bf(a+b-x)\,dx=\int\limits_{\pink b}^{\pink a}f(u)\,(\pink-du)=\int\limits_a^bf(u)\,du=\int\limits_a^bf(x)\,dx$$Die Integrationsfariable \(u\) wurde im letzten Schritt in \(x\) umbenannt.

Deine Professorin hat vermutlich diese schnelle Substituion im Kopf durchgeführt:$$\int\limits_0^{\pi/2}\sin\left(\frac\pi2-x\right)dx=\int\limits_{\red0}^{\green{\pi/2}}\sin\left(\frac\pi2-\left(\red0+\green{\frac\pi2}-x\right)\right)dx=\int\limits_0^{\pi/2}\sin(x)\,dx$$

Es steht also zumindest nichts Falsches in der Vorlesung.

Deine Ersetzung mit \(\cos(x)\) wäre genauso korrekt gewesen.

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Das passt und erklärt auch einige andere Umformungen :)

Answer 2

Wenn du die Funktion \(x\mapsto \sin(x)\) an der Geraden \(x=\frac{\pi}{4}\) spiegelst, dann bekommst du die Funktion \(x\mapsto \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\).

\(\frac{\pi}{4}\) liegt in der Mitte zwischen den Integrationsgrenzen.

Oder formal mittels Integration durch Substitution \(g(x)=\frac{\pi}{2}-x\):

\(\begin{aligned} &  & \int_{a}^{b}f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{d}x & =\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & \implies & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\left(-1\right)\mathrm{d}x & =\int_{\frac{\pi}{2}-0}^{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & \implies & -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\mathrm{d}x & =\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & \implies & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\mathrm{d}x & =-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u\\ &  &  & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u \end{aligned}\)

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Danke dir...

Aber ob meine Professorin so eine komplizierte Rechnung im Kopf bzw. in einem Rechenschritt gemacht hat?

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Das ist keine komplizierte Rechnung.

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Das ist die einfachste Substitution, die man sich denken kann. Wenn Du das kompliziert findest, solltest Du die Substitutionsregel mal üben.

Deine Professorin hat es vermutlich im Kopf über die oben erwähnte Spiegelung gemacht (Stichwort: Integral = (in diesem Fall) Flächeninhalt unter der Kurve).

Answer 3

Es ist anzunehmen, dass sie sich vertan hat: