Welche Werte haben x und y?

Question

Aufgabe:

I.    \( 3 y+3(x+1)=9 \)

II.    \( 2 y-x+5=12 \)

Welche Werte haben x und y ?

a) x = 1; y= 2

b) x = -1  y = 3

c) x=1; y = 0

d) x = -1; y = 1

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das habe schon versucht das zu Lösen bin leider auf keine Antwort gekommen weiß jemand wie man so etwas löst?

Comments

Ich habe den Aufgabentext angepasst. Du hattest die erste Gleichung dreimal drin, davon zweimal falsch.

\(\text{I.}\quad 3 y+3(x+1)=9 \quad \iff \quad y= -x + 2\)

\(\text{II.}\quad 2 y-x+5=12 \quad \iff \quad y=\frac{1}{2} x + 3,5 \)

Finde die Koordinaten des Schnittpunktes.

Answer 1

Wenn du vorgegebene Lösungen hast, kannst du sie doch einfach durch Einsetzen in die Gleichungen durchprobieren. Es müssen beide Gleichungen erfüllt sein.

Ansonsten gibt es verschiedene Lösungsverfahren:

1. Einsetzungsverfahren: Löse bspw. die zweite Gleichung nach \(x\) auf und ersetze dieses \(x\) dann in der ersten Gleichung. Diese kannst du dann nach \(y\) auflösen und damit das \(y\) bestimmen. Jetzt kannst du durch Einsetzen von \(y\) in eine der Gleichungen auch das \(x\) bestimmen.

2. Additionsverfahren: Rechne zum Beispiel die erste Gleichung mal 2 und die zweite Gleichung mal -3. Durch Addition beider Gleichungen fällt dann die Variable \(y\) raus und du kannst die entstandene Gleichung nach \(x\) auflösen.

Tipp: Löse in der ersten Gleichung zunächst die Klammer auf.

Ansonsten kannst du uns auch gerne deine Versuche zeigen, dann können wir dir gezielt sagen, was schiefgelaufen ist.

Comments

So habe die Antwort x= -1 und y=3 durch beide Methode?

Also b richtig?

1. Einsetzungsverfahren

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} 13 y+3(x+1)=9 \\ 12 y-x+5=12 \end{array} \)

Lösen nach \( x \)
\( \begin{aligned} 2 y-x+5 & =12 \quad 1+x \\ 2 y+5 & =12+x \end{aligned} \)
\( 1-12 \)
\( \begin{array}{l} 2 y-7=x \\ x=2 y-7 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} x=2 y-7 \\ \text { Einsetzen }(2 y-7)+3=9 \\ 3 y+3012 y \\ 3 y+6 y-21+3=9 \\ 9 y-18=9 \\ 9 y=27 \quad \text { : } 9 \text {. } \\ y=3 \end{array} \)
\( 1+18 \)

Einsetzer
\( \begin{array}{l} 2 \cdot 3-x+5=12 \\ 6-x+5=12 \\ 11-x=12 \\ 11=12+x \quad 1-12 \\ x=-1 \end{array} \quad 1+x \)

Additionsverfahren

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { I } 3 y+3(x+1)=9 \\ \text { I } 3 y+3 x+3=9 \quad 1.2 \\ \text { II } 2 y-x+5=12 \quad \mid \cdot-3 \\ \text { I } 6 y+6 x+6=18 \quad I+\Psi \\ \text { HII }-6 y+3 x-15=-36 \\ \quad x+9 x-9=-18 \quad 1+9 \\ 9 x=-9 \quad 1: 9 \\ x=-1 \\ 2 y+1+5=121-6 \\ 2 y=6 \quad 1: 2 \\ y=3 \\\end{array} \)

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Klasse! Das hast du sehr gut gemacht! Auch, dass du beide Varianten ausprobiert hast. :)

Du kannst deine Lösung selbst überprüfen, wenn du die Probe machst. Also setze \(x\) und \(y\) in die Ausgangsgleichungen ein. Wenn beide Gleichungen stimmen, stimmt auch deine Lösung!

Kleine Anmerkung noch: Wenn du Gleichungen mit negativen Zahlen multiplizierst, musst du Klammern schreiben, also \(\cdot (-2)\) statt \(\cdot -2\).

Answer 2

I. 3y+3x+3= 9|:3

y+x+1 = 3

x+y= 2

y= 2-x

II. 2y-x= 12

einsetzen:

2(2-x)-x =7

4-2x -x = 7

-3x= 3

x= -1

y= 2-(-1) = 3

L= {-1|3}

Hier ein Rechner (zur Kontrolle):

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Comments

Als Empfehlung sollte man solche Gleichungssysteme auch schnell mit dem TR kontrollieren können, wenn der TR dies anbietet.

3·y + 3·(x + 1) = 9 --> x + y = 2

2·y - x + 5 = 12 --> x - 2·y = -7

Die umgeformten Gleichungen sollte man dann recht leicht in den Taschenrechner eingeben können. Daher würde ich sie zunächst auch in diese Form bringen und jetzt erst mit einem der drei im Unterricht behandelten Verfahren lösen.

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@ggt

L = { -1|3 }   ist als Lösungsmenge nicht richtig

L ist die (einelementige) Paarmenge L = {(-1,3)}

Nachtrag: Tippfehler korrigiert

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L ist die (einelementige) Paarmenge L = {(1| 3)}

Wobei du jetzt ein negatives Vorzzeichen vergessen hast und nicht beachtet hast das Tupel in der Regel mit einem Komma (-1, 3) geschrieben werden.

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L = { -1|3 }  ist als Lösungsmenge nicht richtig

Ich bilde mir ein, diese Schreibweise schon gelesen zu haben. Irrtum vorhalten.

Im Kontext ist klar, was gemeint ist.

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Ich bilde mir ein, diese Schreibweise schon gelesen zu haben. Irrtum vorhalten.

Das kann durchaus sein. Man weiß zwar was gemeint ist, trotzdem wäre das eine schlampige Schreibweise.

Wenn in der Stochastik eine Münze dreimal geworfen wird, dann schreibe ich häufig für (K, K, K) einfach KKK auf. Da bin ich allerdings nicht der einzige. Trotzdem wäre das eigentlich als Tupel eine verkehrte Schreibweise.

Auch wenn drei mit Ziffern versehene Kugeln gezogen werden, schreibe ich statt dem Tupel (1, 2, 3) eben einfach nur 123 auf. Auch das ist natürlich verkehrt. Aber es ist auch nicht sehr übersichtlich, wenn man 20 Tupel der Form immer mit Klammern und Trennzeichen schreibt.

Da sag’ ich dann, der Zweck heiligt die Mittel.

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Habe das oben korrigiert.

Mir geht es im Wesentlichen um die Klarstellung, dass es sich hier um eine Lösung handelt und nicht um zwei Lösungen x und y

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das(s) Tupel in der Regel mit einem Komma (-1, 3) geschrieben werden.

Wie unterscheidest du denn dann in der Schreibweise (2,5,7),

ob es sich um das Paar (2,5 ; 7) oder das Paar (2 ; 5,7) oder um das Tripel (2;5;7) handelt?

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Wenn man sauber in der Formatierung ist steht dort entweder

(2,5, 7) oder (2, 5, 7)

Wer natürlich keine Ahnung von Zeichensetzung hat und oder bei denen man bei ihrem Geschmiere eh keine Leerzeichen erkennen kann, muss wohl doch auf andere Trennzeichen ausweichen.

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Wenn man sauber in der Formatierung ist

Jetzt wird es schon speziell. LaTeX ignoriert profane Leerzeichen...

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Deswegen nutze ich bei LaTeX grundsätzlich ein Semikolon als Trennzeichen, also auch \([1;2]\) als Intervall statt \([1,2]\) oder \(\{1;2;3;\ldots \}\) bei Mengen statt \(\{1,2,3,\ldots\}\).

Der Vorschlag von MC ist auch deswegen schlecht, weil es die Lesbarkeit nicht zwangsläufig erhöht: \((2,5,\ 7)\) vs. \((2,\ 5,\ 7)\). Von ungewollten Tippfehlern dann mal ganz abgesehen. Die Darstellung \((2,5;7)\) bzw. \((2;5;7)\) lässt da hingegen keinen Raum für Interpretationen.