Begründe, dass X nicht binomialverteilt ist.

Question

Aufgabe:

Beim Lotto 6 aus 49 werden aus einer Trommel mit 49 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 49 nacheinander 6 Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt. Wer mitspielen will, muss vor der Ziehung einen Tipp abgeben, indem er von 49 Zahlen sechs ankreuzt. Die Zufallsvariable \( X \) beschreibt die Anzahl der übereinstimmenden Zahlen auf einem Tipp und bei der Ziehung (kurz ,Richtige").

a) Begründe, dass \( X \) nicht binomialverteilt ist.

b) Begründe: \( \mathbb{P}(X=2)=\binom{6}{2} \cdot \frac{6}{49} \cdot \frac{5}{48} \cdot \frac{43}{47} \cdot \frac{42}{46} \cdot \frac{41}{45} \cdot \frac{40}{44} \).

c) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \( X \) an.

d) Berechne den Erwartungswert von \( X \).

e) \( Y \) sei die binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern \( n=6 \) und \( p=\frac{6}{49} \). Gib \( \mathbb{P}(Y=2) \) wie in b) an und löse c) und d) für \( Y \). Vergleiche und interpretiere.

Problem/Ansatz:

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht oder das was in der Aufgabe steht?

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Vom Duplikat:

Titel: Lotto, löse alle Aufgaben

Stichworte: stochastik

Löse die Aufgabe.

Beim Lotto 6 aus 49 werden aus einer Trommel mit 49 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 49 nacheinander 6 Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt. Wer mitspielen will, muss vor der Ziehung einen Tipp abgeben, indem er von 49 Zahlen sechs ankreuzt. Die Zufallsvariable \( X \) beschreibt die Anzahl der übereinstimmenden Zahlen auf einem Tipp und bei der Ziehung (kurz , Richtige").
a) Begründe, dass \( X \) nicht binomialverteilt ist.
b) Begründe: \( \mathbb{P}(X=2)=\binom{6}{2} \cdot \frac{6}{49} \cdot \frac{5}{48} \cdot \frac{43}{47} \cdot \frac{42}{46} \cdot \frac{41}{45} \cdot \frac{40}{44} \).
c) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \( X \) an.
d) Berechne den Erwartungswert von \( X \).
e) \( Y \) sei die binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern \( n=6 \) und \( p=\frac{6}{49} \). Gib \( \mathbb{P}(Y=2) \) wie in b) an und löse c) und d) für \( Y \). Vergleiche und interpretiere.

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Ist das nicht dasselbe wie dies hier:

https://www.mathelounge.de/1081400/begrunde-dass-x-nicht-binomialverteilt-ist

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Anscheinend. Und auch vom selben FS.

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit für 0 richtige ist

(1)        \(P(X=0) = \frac{{49-6}\choose 6}{49\choose 6} = \frac{435461}{998844}\).

Wäre \(X\) binomialverteilt, dann wäre

(2)        \(P(X=0) = {6\choose 0}\cdot p^0\cdot (1-p)^{6-0} = (1-p)^6\).

Gleichsetzen von (1) und (2) ergibt

        \(p = 1-\sqrt[6]{\frac{435461}{998844}}\).

Die Wahrscheinlichkeit für 6 richtige ist

        \(P(X=6) = \frac{1}{49\choose 6} = \frac{1}{13983816}\).

Allerdings ist

        \(\frac{1}{13983816} \neq {6 \choose 6}\cdot \left(1-\sqrt[6]{\frac{435461}{998844}}\right)^6\cdot \left(1-\left(1-\sqrt[6]{\frac{435461}{998844}}\right)\right)^{6-6}\).

Also ist \(X\) nicht binomialverteilt.

Answer 2

a)

Die Binomialverteilung. Wenn man bei einem Zufallsexperiment nur zwei Ergebnisse erzielen kann (“Erfolg” oder “Misserfolg”), spricht man von einem Bernoulli-Experiment. Führt man nun mehrere solcher Experimente
nacheinander und unabhängig voneinander durch, so ist die Anzahl der Erfolge binomialverteilt.

Es gibt viele Erfolge und noch mehr Misserfolge.

b) Es geht um zwei Richtige aus 6.

Es wurde das Baumdiagramm verwendet, 15 Pfade

alternativ: (6über2)*(43über4)/(49über6) , führt zum selben Ergebnis: 13,24%

c) hypergeometrische Verteilung (s.meine Alternative bei b)

d) Formel: n*M/N = 6*6/49 = 36/49

e)

b)P(X=2) = (6über2)*(6/49)^2*(43/49)^4

c) Binomialverteilung

d) EW = n*p= 6*6/49= 36/49

Comments

Hat sich erledigt.

Answer 3

a) Begründe, dass X nicht binomialverteilt ist.

Eine Voraussetzung der Binomialverteilung ist, dass die Trefferwahrscheinlichkeit von Zug zu Zug immer konstant bleibt und sich nicht ändert. Das ist beim Ziehen ohne Zurücklegen, wie beim Lotto, im Gegensatz zum Ziehen mit Zurücklegen, nicht gegeben.

Comments

Am Rande:

Der Lotto-Pot steht heute bei 19 Mio.

Das ergibt ein Monatsnetto-Rente über 20 Jahre bei 3% Verrentung von ca. 98.000.

Chance: 1 zu (49über6)*10 = ca.1/140 Mio

Exakt die dieselbe WKT hat der Volltreffer beim um 66 2/3% teuereren EuroLotto:

1 zu (50über5)*(12über2), es gibt 66 mögliche, richtige 5er mit 2 Eurozahlen, beim Lotto nur 10 mögliche, richtige 6er mit 1 Superzahl.

Allerdings liegt der Maximal-Jackpot bei 50 Mio, im EuroLotto bei 120 Mio.

Der steht seit gestern bei 52 Mio = Rente wie oben 267.000.

Answer 4

a) Es wird nicht zurückgelegt. Es gibt nicht nur 2 Ausgänge.

Es liegt die hypergeometr. Verteilung vor

b) P = WKZ von 2 Richtigen aus 6 Richtigen

Kontrolle mit hypergeometr. Formel:

(6über2)*(43über4)/(49über6)= 13, 24% = das genannte Ergebnis

c) s.a)

d)  https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung#Erwartungswert

e)

b) (6über2)* (6/49)^2*(43/49)^4

c) Binomialverteilung

d) EW: n*p*(1-p): 6*6/49*43/49

Die WKT ist bei jedem Zug dieselbe für jede Kugel, es könnte z.B. 6-mal dieselbe Zahl gezogen werden.

Comments

a) Es wird nicht zurückgelegt. Es gibt nicht nur 2 Ausgänge.

Es gibt nur zwei Ausgänge. Eine Zahl kann "richtig" oder "falsch" sein. Siehe Aufgabenstellung.

Da nicht zurückgelegt wird, ändert sich aber die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug und damit ist die Bedingung der Binomialverteilung, dass die Trefferwahrscheinlichkeit immer konstant ist, nicht erfüllt.