Bestimmen Sie eine Basis \vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3} des R^3

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis $$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3} $$ des $$R^3$$
, sodass die Strukturmatrix der
symmetrischen Bilinearform
$$γ:R^3 × R^3 → R$$
$$ γ:(\vec{w_1},\vec{w_2}) = \vec{w_1^T} \begin{pmatrix} 2 & 1& 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 2  \end{pmatrix} \vec{w_2} $$
in Sylvester-Normalform ist (Trägheitssatz von Sylvester). Bestimmen Sie auch die
Signatur von $$γ$$

Problem/Ansatz

Ich möchte hierab vorweg nehmen, dass ich keinen Bedarf habe die Aufgabe einzureichen, ich hatte mich persönlich gegen Studienleistungen entschieden. Grüße and Apfelmännchen gehen raus, falls du das hier mitkriegst.

Ich hab in einem anderen Beitrag gelesen, dass es Sinnvoll wäre das Gram Schmidt Verfahren anzuwenden.

Ich könnte aus der Matrix einen Vektor mir aussuchen und dann loslegen nach dem Muster allerdings denke ich mir, dass ich hier, im Sinne so gesagt rückwärts, zu arbeiten habe. Denn ich soll ja an der gegebenen Matrix landen.

Da es quasi Hobbymäßig ist diese Aufgabe zu lösen bin ich auch sehr Dankbar, wenn man mir nicht einfach nur die Lösung zeigt. :)

Answer 1

Hey, grüße dich. :)

Du kannst die Matrix auf Diagonalform bringen, indem du simultane Zeilen- und Spaltenumformungen durchführst (vergleiche Gauß zur Berechnung der Inversen).

Anschließend musst du noch die Zeilen der auf der rechten Seite entstandenen Matrix normieren, indem du die Zeilen durch die Wurzel des Betrags des Diagonaleintrags dividierst. Die Zeilen liefern dir dann die gesuchte Basis.

Vergleiche hier Aufgabe 14: https://ssp.math.uni-heidelberg.de/la2-ss2019/uebungen/abgabeblatt04loesung.pdf

Alternativ: Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. Damit kannst du die Matrix diagonalisieren und die Eigenvektoren liefern dir eine Basis. Jetzt musst du diese Basis nur noch wie oben normieren, indem du durch die Norm des Eigenvektors und die Wurzel des Betrags des entsprechenden Eigenwertes dividierst.

Vergleiche dazu Satz 10.3: http://www.blu7.com/Skripte/Lineare_Algebra_II_SS02_Skript.pdf

Comments

Hallo, :).

Danke dir für deine Antwort ich hatte Gestern im laufe des Tages dann versucht nach dem 2ten Weg die Aufgabe zu lösen. Ich hab dann als normierte Vektoren folgendes erhalten:

$$v_1\begin{pmatrix} -1\\1 \\1\end{pmatrix}$$

$$v_2\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0 \\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$

$$v_3\begin{pmatrix}\frac{-1}{2}\\-1\\\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Ich werde mir die ganzen Rechenwege mal sparen.

Ich hoffe das reicht um die Aufgabe zu lösen ?

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Das sind zwar Eigenvektoren, allerdings sind sie nicht korrekt normiert. Du kannst das selbst prüfen, indem du \(V^TAV\) berechnest, wobei \(V\) als Spalten deine Eigenvektoren enthält. Herauskommen sollte dabei die Einheitmatrix. Und zur Lösung der Aufgabe fehlt ja dann noch die Angabe der Signatur.

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Also für die Eigenvektoren hab ich folgendes erhalten:

$$v_1\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$$ $$v_2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$ $$v_3\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}$$

Wenn ich diese doch nun normieren möchte, dann geh ich nach dem von dir geschriebenen vor, undzwar teile ich durch die Wurzel des Betrags vom Eigenwert teile.

Ich verstand dies wie folgt, dass ich zb beim ersten Vektor den Eigenwert 1 benutzt hatte auch durch $$\frac{1}{\sqrt{1}}$$ teile

Dementsprechend bin ich bei den anderen beiden Vektoren so vorgegangen.

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Ach, entschuldige. Deine Eigenvektoren haben nicht die Länge 1. Man normiert erst die Eigenvektoren auf die Länge 1 und dann "normiert" man nochmal mit den Eigenwerten. Ich passe das in der Antwort noch an.

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Also sollte ich erst die Eigenvektoren durch derene Einträge erst teilen um die auf die Länge 1 zu bringen, dann nochmals durch den Eigenwert teilen, korrekt ?

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Durch die Norm des Vektors. Das wäre im ersten Fall dann \(\sqrt{3}\). Also quasi \(v_1=\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert_2 \sqrt{|\lambda_1|}}\) mit \(u_1\) Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_1\).

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Ich bin genau so grade vorgegangen und hab folgende 3 Vektoren erhalten

$$v_1= \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{3}*\sqrt{1}}\\\frac{1}{\sqrt{3}*\sqrt{1}}\\\frac{1}{\sqrt{3}*\sqrt{1}}\end{pmatrix}$$

$$v_2= \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$$

$$v_3\begin{pmatrix} \frac{-1}{4}\\\frac{-1}{4}\\ \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Beim zweiten und dritten Vektor heben sich die Wurzeln "auf".

Hab Wurzel 2 * Wurzel 2 beim zweiten Vektor erhalten und beim dritten 1/2*1/sqrt(4)

Wobei man sicherlich noch Unterscheiden kann bei der Wurzel 4. Aber ich hoffe es reicht soweit. Erst wenn die nun korrekt sind, dann kann ich mir Gedanken über die Sigantur machen aber es sind ja die Anzahl der positiven und negativen Elemente auf der Diagonalen. und die müssen nach p-q=sig berechnet werden.

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Nicht ganz. Der dritte stimmt nicht. Der hat die Norm \(\sqrt{6}\).

Das Ergebnis kannst du selbst prüfen, denn \(V^TAV\) liefert dir dann die Strukturmatrix in Sylvester-Normalform. Die Signatur kannst du aber auch bereits nur anhand der Eigenwerte bestimmen.

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Hey danke dir fürs Antworten. Ich hatte den dritten noch nicht korrigiert aber ich ahne den Fehler in einem Wurzelgesetz ?

Wenn der Term innerhalb der Wurzel nicht gleich ist und 2 Wurzeln nicht mit einander multipliziert werden, wie beim 2ten Vektor.

Sondern es unterschiedliche Terme sind die unter deren Wurzeln miteinander multipliziert werden, dann lassen sich die Terme additiv unter einer Wurzel zusammenfassen.

Ich würde mir so spontan die Wurzel(6) erklären.

Ansonsten übernehme ich einfach morgen den Wert und es sei für mich damit in Ordnung.

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Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, wie du die Norm eines Vektors berechnest, aber für \(v_3\) gilt doch \(\Vert v_3 \Vert_2=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}\).

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Kann sein, dass ich da einfach nicht mehr aufgepasst habe.