A' ist singulär, genau dann wenn t=a

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( n \geq 1 \) eine natürliche Zahl und \( A \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) eine reguläre Matrix. Ferner seien ein Spaltenvektor \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} \) und ein Zeilenvektor \( \mathbf{w} \in \operatorname{Mat}_{1 \times n}(\mathbb{R}) \) gegeben. Wir betrachten nun die \( (n+1) \times(n+1) \)-Matrix
\( A^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} A & \mathbf{v} \\ \mathbf{w} & t \end{array}\right) \)
für \( t \in \mathbb{R} \). Beweisen Sie, dass es eine reelle Zahl \( a \in \mathbb{R} \) gibt, sodass gilt: \( A^{\prime} \) ist genau dann singulär, wenn \( t=a \).

Problem/Ansatz:

Zu zeigen: A' ist singulär ⇔ t=a für a∈ℝ,

Laut Def. gilt für reguläre Matrizen: rg(A')=n ⇒ für singuläre Matrizen gilt: rg(A')≠n

1. Schritt: rg(A')≠n⇒t=a für a∈ℝ

2. Schritt: t=a für a∈ℝ⇒t=rg(A')≠n

Ich brauche Hilfe dabei die jeweiligen Schritte zu zeigen (falls soweit korrekt)

Answer 1

Man kann das einfach über die Determinante machen, indem wir die Einträge als Blockmatrizen betrachten. Denn: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Wenn wir also ein solches \(t\) finden, so dass die Determinante ungleich 0 ist, ist alles gezeigt.

Dann gilt nämlich \(\det(A')=\det(A)\cdot \det(t-\mathbf{w}A^{-1}\mathbf{v}) \stackrel{!}{=}0\), woraus sofort \(t=\mathbf{w}A^{-1}\mathbf{v}\) folgt, da \(A\) invertierbar ist und \(\det(A)\neq 0\).

Man nennt \(t-\mathbf{w}A^{-1}\mathbf{v}\) übrigens das Schur-Komplement von \(A\) in \(A'\).

Comments

man hätte hier einfach sagen können, dass man zeigen soll, dass eine reelle Zahl existiert, so dass \(A'\) singulär ist

Die Aufgabe verlangt aber mehr.

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Du hast Recht. Irgendwie hatte ich beim Verfassen der Antwort ein Brett vor dem Kopf. Ich habe die Antwort entsprechend angepasst. Der Ansatz mit der Determinante funktioniert aber trotzdem und liefert die gewünschte Existenz.