Aufgabe:
c) Ãngenommen \( X \) sei eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} c x^{-2} & x \in[2,4] \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)
wobei \( c>0 \) eine Zahl ist.
(i) Bestimmen Sie \( c \) so, dass \( f \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
\( \rightarrow \) Zahl in Feld eintragen
(ii) Bestimmen Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit \( P(X \in[-5 ; 3]) \) für das in Teil (i) bestimmte \( c \).
\( \rightarrow \) Zahl in Feld eintragen
Problem/Ansatz:
Bei c) i) habe ich c = 4, aber bei ii) habe ich aber bei der Wahrscheinlichkeit -10/3 raus, aber das kann irgendwie nicht sein, also bin mir nicht sicher.
Text erkannt:
c)
\( \begin{array}{l} f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x^{-2} \\ 0 \end{array}\right. \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \stackrel{\vdots}{=} \\ \begin{array}{l} 1 \vdots \int \limits_{2}^{4} c x^{-2} d x \\ 1=\int \limits_{2}^{4} c \frac{1}{x^{2}} d x \end{array} \\ 1=\int \limits_{2}^{4} c x^{-2} d x \\ 1=\left[c \frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right]_{x=2}^{4} \\ 1=\left[c \frac{x^{-1}}{-1}\right]_{x=2}^{4} \\ 1=\left[c \frac{\frac{1}{x}}{-1}\right]_{x=2}^{4} \\ 1=\left[c\left(\frac{1}{x}:(-1)\right)\right]_{x=2}^{4} \\ 1=\left[c\left(\frac{1}{-x}\right)\right]_{x}^{4}=2 \\ 1=\left[\frac{c}{-x}\right]_{x=2}^{4} \\ 1=\left(\frac{c}{-4}\right)-\left(\frac{c}{-2}\right) \\ 1=\frac{c}{-4}+\frac{c}{2} \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1} \\ 1=\frac{c}{-4}+\frac{c}{2} \\ 1=\frac{c}{-4}+\frac{-2 c}{-4} \\ \Lambda=\frac{-c}{-4} \\ 1=\frac{c}{4} \\ 4=C \\ C=4 \\ \text { (i) } C=4 \\ \text { ii) } \int \limits_{-5}^{3} f(x) d x=\int \limits_{-5}^{2} f(x) d x+\int \limits_{2}^{3} f(x) d x \\ =\int \limits_{-5}^{2} 0 d x+\int \limits_{2}^{3} 4 x^{-2} d x \\ \begin{array}{l} =\int \limits_{2}^{3} 4 x^{-2} d x \\ -1,3 \end{array} \\ =\left[4\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)\right]_{x=2}^{3} \\ P(X \in[-5 ; 3])=-\frac{10}{3} \\ \end{array} \)
