Welchen Maximum-Likelihood-Schätzwert erhalten Sie?

Question

Aufgabe:

a) Die Zufallsstichprobe \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) bestehe aus unabhänigigen, identisch verteilten \( \mathrm{Zu}- \) fallsvariablen mit Dichte
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a^{-2} x e^{-x / a} & x>0 \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

Der Parameter \( a>0 \) ist unbekannt und soll aus den vorliegenden Realisierungen
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline 3 & 2 & 0.5 & 0.3 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden. Die Log-LikelihoodFunktion berechnet sich \( \mathrm{zu} \)
\( L(a)=n \ln \left(a^{-2}\right)-\frac{n}{a} \bar{x}+\sum \limits_{i=1}^{n} \log x_{i} \)

Welchen Maximum-Likelihood Schätzwert â erhalten Sie?
\( \rightarrow \) Zahl in Feld eintragen

Problem/Ansatz:

Ich komme nach mehrmaligen Versuchen nicht auf den Maximum Likelihood Schätzer a. Nach log-Funktion, die gegeben istmuss man ableiten aber danach komme ich nicht weiter

Comments

Wie sehen deine Versuche denn aus?

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Das habe ich bisher (siehe Bild)

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Das habe ich bisher (siehe Bild)

Text erkannt:

N.. 3
\( \begin{array}{l} \text { a) } \quad f(x)=a^{-2} x e^{-x \mid a} \quad x>0 \\ L(a)=n \cdot \ln \left(a^{-2}\right)-\frac{n}{a} \bar{x}+\sum \limits_{i=1}^{n} \log x_{i} \\ 0=\frac{1}{n}(a)=n \cdot\left(-\frac{2}{a}\right)-n \cdot\left(-\frac{1}{a^{2}}\right) \bar{x}+\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}} \\ 0=-\frac{2}{a} n+\frac{1}{a^{2}} \bar{x} n+\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}} \\ \frac{2}{a} n-\frac{1}{a^{2}} \bar{x} n=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}} \end{array} \)

Answer 1

Die Summe \(\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)\) hängt doch gar nicht von \(a\) ab und fällt damit beim Ableiten vollständig weg.