Hello,
die Maximum-Likelihood-Methode ist so zu verstehen, dass du den besten Schätzer finden möchtest, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass deine Beobachtungen, die du gemacht hast, unter diesem Modell auftreten, maximal wird.
Das bedeutet: Als erstes musst du ein passendes Model zu Grunde legen. Hier wäre es am besten ein Produktmodell, wo X1 bis Xn Zufallsvariablen sind, die den Ausgang jeweils im ersten Wurf bis zum n-ten Wurf beschreibt. Nun musst du dir überlegen, welche Verteilung die Zufallsvariablen haben.
Naja X1 zähl die Anzahl der Versuche bis zum ersten mal Kopf auftritt. Das klingt wohl sehr stark nach einer geometrischen Verteilung ergo im ersten Wurf hast du drei Versuche gebraucht also 2 mal Misserfolg gehabt und 1 mal Erfolg. Analog für die anderen Realisierungen.
Nun können wir zur Liklehood-funktion gelangen: Diese stellt gerade die Wahrscheinlichkeit da, dass in deinem Produktexperiment unter der Wahrscheinlichkeit p die Realisierungen auftreten also L(p,x)= Produkt von 1 bis 10 von Geom(xi,p). Nun wollen wir den Ausdruck maximieren (Satz 1) und damit den besten Schätzer p finden.
Bei einem Produktexperiment bietet sich oftmals das Logarithmieren der Funktion an, denn du kannst die Funktion anschließend leichter nach p ableiten und 0 setzten, denn dann berechnest du gerade ein Maximum des Ausdruckes und damit deinen besten Schätzer p. (Ps: Log-Likelihood-Fkt hat an der geichen Stelle das Maximum wie die normale Funktion)
Ok also log auf das Produkt anwenden und dann nach p ableiten. Anschließend die Ableitung 0 setzten und nach p umstellen. Zu beachten ist: Es könnte beim 0 setzten sein, dass du ein minimum erhältst, also müsstest du prüfen, ob tatsächlich ein Maximum vorliegt (2.Ableitung oder bisschen links und rechts von der stelle schauen ob erst positiv und dann negativ).
Versuchs mal und schau ob ein Wert von ungefähr 0.43 rauskommt. dann hast dus richtig gemacht
Liebe grüße
